A unidade astronómica e o Sistema Solar
Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 23 Tarefa 11
Enunciado
A unidade astronómica (ua) é uma unidade de medida utilizada pelos cientistas para medirem, através de telescópios, distâncias dentro do Sistema Solar. Uma unidade astronómica corresponde, aproximadamente, à distância média entre a Terra e o Sol.
\[1\;{\rm{ua}} = 1,5 \times {10^8}\;{\rm{km}}\]
Na figura está indicada, em km, a distância média de cada planeta ao Sol.
- Determina a distância média dos planetas ao Sol em unidades astronómicas (ua), usando a notação científica.
- Imagina que não sabias a posição de cada um dos planetas relativamente ao Sol.
2.1. Indica um planeta cuja distância média ao Sol seja da mesma ordem de grandeza da da Terra. Essa distância é maior ou menor que a da Terra? Porquê?
2.2 Justifica, sem calcular o valor das potências de base 10, que:
a) a distância de Vénus ao Sol é inferior à distância de Júpiter ao Sol.
b) a distância de Neptuno ao Sol é superior à distância de Mercúrio ao Sol. - Qual é a distância de Vénus à Terra (em km)? E de Mercúrio à Terra? E de Vénus a Marte? E de Mercúrio a Neptuno? Apresenta os resultados em notação científica.
Resolução
- Determinação da distância média dos planetas ao Sol, em unidades astronómicas (ua) e notação científica:
Planeta Distância média do planeta ao Sol, em unidades astronómicas (ua) Mercúrio \[\frac{{5,8 \times {{10}^7}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{5,8}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^7}}}{{{{10}^8}}} \approx 3,9 \times {10^{ – 1}}\] Vénus \[\frac{{1,1 \times {{10}^8}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{1,1}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8}}} \approx 0,73 \times {10^0} = 7,3 \times {10^{ – 1}}\] Terra \[\frac{{1,5 \times {{10}^8}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = 1 = 1,0 \times {10^0}\] Marte \[\frac{{2,3 \times {{10}^8}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{2,3}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8}}} \approx 1,5 \times {10^0}\] Júpiter \[\frac{{7,8 \times {{10}^8}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{7,8}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8}}} \approx 5,2 \times {10^0}\] Saturno \[\frac{{1,4 \times {{10}^9}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{1,4}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^9}}}{{{{10}^8}}} \approx 0,93 \times {10^1} = 9,3 \times {10^0}\] Úrano \[\frac{{2,9 \times {{10}^9}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{2,9}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^9}}}{{{{10}^8}}} \approx 1,9 \times {10^1}\] Neptuno \[\frac{{4,5 \times {{10}^9}}}{{1,5 \times {{10}^8}}} = \frac{{4,5}}{{1,5}} \times \frac{{{{10}^9}}}{{{{10}^8}}} = 3,0 \times {10^1}\]
2.1. Júpiter [Vénus e Marte], por exemplo, é um planeta cuja distância média ao Sol é da mesma ordem de grandeza da da Terra. Essa distância é maior [menor (Vénus) e maior (Marte)] que a da Terra. As distâncias médias ao Sol desses dois planetas são da mesma ordem de grandeza, pois a potência de base 10 é igual em ambos os casos, quando essas distâncias estão escritas em notação científica.
2.2
a) Sim, a distância de Vénus ao Sol é inferior à distância de Júpiter ao Sol.
Com efeito, estando os números escritos em notação científica, sendo o expoente da potência de base 10 da distância média de Vénus ao Sol igual ao expoente da potência de base 10 da distância média de Júpiter ao Sol, e como \(1,1 < 7,8\), então a distância Vénus ao Sol é menor do que a de Júpiter ao Sol.
b) Sim, a distância de Neptuno ao Sol é superior à distância de Mercúrio ao Sol.
Com efeito, estando os números escritos em notação científica, tem-se que o expoente da potência de base 10 da distância média de Neptuno ao Sol é superior ao expoente da potência de base 10 da distância média de Mercúrio ao Sol.- A distância de Vénus à Terra é \(1,5 \times {10^8} – 1,1 \times {10^8} = \left( {1,5 – 1,1} \right) \times {10^8} = 0,4 \times {10^8} = 4 \times {10^7}\) km.
A de Mercúrio à Terra é \(1,5 \times {10^8} – 5,8 \times {10^7} = 15 \times {10^7} – 5,8 \times {10^7} = \left( {15 – 5,8} \right) \times {10^7} = 9,2 \times {10^7}\) km.
A distância de Vénus a Marte é \(2,3 \times {10^8} – 1,1 \times {10^8} = \left( {2,3 – 1,1} \right) \times {10^8} = 1,2 \times {10^8}\) km.
E a distância de Mercúrio a Neptuno é \(4,5 \times {10^9} – 5,8 \times {10^7} = \left( {4,5 – 0,058} \right) \times {10^9} = 4,442 \times {10^9}\) km.
