O ponto I é o incentro do triângulo [ABC]

O ponto I é o incentro do triângulo [ABC].

Qual é a medida da amplitude do ângulo BAC?

[A] 55º

[B] 60º

[C] 70º

[D] 80º

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O ponto I, o incentro do triângulo [ABC], é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.

Assim, temos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha + 110^\circ + \beta = 180^\circ }\\{\beta + 130^\circ + \gamma = 180^\circ }\\{\gamma + 120^\circ + \alpha = 180^\circ }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha + \beta = 70^\circ }\\{\beta + \gamma = 50^\circ }\\{\gamma + \alpha = 60^\circ }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\gamma = 60^\circ – \alpha }\\{\beta + 60^\circ – \alpha = 50^\circ }\\{\alpha + \beta = 70^\circ }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\gamma = 60^\circ – \alpha }\\{\beta = \alpha – 10^\circ }\\{\alpha + \alpha – 10^\circ = 70^\circ }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha = 40^\circ }\\{\beta = 30^\circ }\\{\gamma = 20^\circ }\end{array}} \right.}&{}\end{array}\]

Logo, \(B\widehat AC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \).

Nota: Como a questão é de escolha múltipla e, por isso, não é necessário a justificação ou a apresentação de cálculos, podíamos evitar a resolução do sistema, optando por testar as respostas apresentadas.