Apótema de um hexágono regular
Lugares geométricos: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 87 Tarefa 2
Um hexágono regular está inscrito numa circunferência de raio 6 cm.
Determina o valor exato da medida do comprimento de um apótema do hexágono.
Seja G a projeção ortogonal do ponto O sobre o segmento de reta [EF].
Como o hexágono é regular, então os seis triângulos em que está dividido são equiláteros e geometricamente iguais entre si. [Prove que assim é!]
Assim, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [EGO], temos:
\[\overline {GO} = \sqrt {{{\overline {OE} }^2} – {{\overline {EG} }^2}} = \sqrt {{6^2} – {3^2}} = \sqrt {36 – 9} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \;cm\]
Comecemos por provar que o triângulo [AOB] é equilátero.
[OA] e [OB] são raios da mesma circunferência, logo o triângulo [AOB] é isósceles.
Num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Logo, os ângulos OAB e OBA são geometricamente iguais.
Como a amplitude do ângulo ao centro AOB é 60º, pois é igual à amplitude de cada um dos 6 arcos geometricamente iguais em que a circunferência foi dividida, resulta que os três ângulos internos do triângulo [AOB] são geometricamente iguais.
Sendo equiângulo, o triângulo [AOB] é equilátero.
E, como a circunferência foi dividida em seis arcos geometricamente iguais, conclui-se que os seis triângulos em que o hexágono está dividido são geometricamente iguais entre si e equiláteros.
