Prove que a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno

Prove qua a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno.

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A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é um infinitamente pequeno se e só se $\forall \delta  \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < \delta $.

Ora,

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{u_n}} \right| < \delta }& \Leftrightarrow &{\left| {1 – {{\left( { – 1} \right)}^n}} \right| < \delta } \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {1 + 1} \right| < \delta } \\
{n{\text{ ímpar}}}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {1 – 1} \right| < \delta } \\
{n{\text{ par}}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\delta  > 2} \\
{n{\text{ ímpar}}}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\delta  > 0} \\
{n{\text{ par}}}
\end{array}} \right.}
\end{array}}
\end{array}\]

Verifica-se que apenas para $\delta  \in \left] {2, + \infty } \right[$ existe uma ordem $p \in \mathbb{N}$ tal que $n > p \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < \delta $.

Consequentemente, a sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ não é um infinitamente pequeno.

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Note que a conclusão é óbvia, já que: \[{u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
2& \Leftarrow &{n{\text{ ímpar}}} \\
0& \Leftarrow &{n{\text{ par}}}
\end{array}} \right.\]