Prove que a sucessão é um infinitamente pequeno
Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 74 Ex. 7
Enunciado
Prove que a sucessão de termo geral ${v_n} = \frac{5}{{n + 3}}$ é um infinitamente pequeno.
Resolução
Prove que a sucessão de termo geral ${v_n} = \frac{5}{{n + 3}}$ é um infinitamente pequeno.
Seja $\delta \in {\mathbb{R}^ + }$.
Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{v_n}} \right| < \delta }& \Leftrightarrow &{\left| {\frac{5}{{n + 3}}} \right| < \delta } \\
{}& \Leftrightarrow &{\frac{5}{{n + 3}} < \delta } \\
{}& \Leftrightarrow &{n\delta + 3\delta > 5} \\
{}& \Leftrightarrow &{n > \frac{{5 – 3\delta }}{\delta }}
\end{array}\]
Conclui-se que $\forall \delta \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow \left| {{v_n}} \right| < \delta $.
Logo, a sucessão $\left( {{v_n}} \right)$ é um infinitamente pequeno.
