A visita de estudo
Números inteiros: Matematicamente Falando 7 - Pág. 29 Ex. 2
Às 12:00 horas, o Josué disse às amigas Rute e Inês: “O 7.º ano vai fazer uma visita de estudo.”
Às 12:05 horas, a Rute e a Inês tinham contado a novidade ao Joel, ao Pedro, à Tânia e à Sara. E assim se espalhou a notícia: cada alno encarregou-se de avisar outros dois colegas no espaço de cinco minutos.
- Quantos alunos souberam a notícia às 12:10 horas? Às 12:15 horas? E às 12:30 horas?
- Ao fim de meia hora, quantas pessoas sabiam a notícia da visita de estudo?
Explica como chegaste à tua resposta. - Ao fim de 35 minutos todos os alunos do 7.º ano sabiam da notícia.
Quantos eram os alunos do 7.º ano?
Explica como chegaste à tua resposta.
Comecemos por construir uma tabela com os dados conhecidos e outros calculados segundo a regra estabelecida:
| Hora | 12:00 | 12:05 | 12:10 | 12:15 | … | Termo geral |
| Número de minutos decorridos | $0 \times 5 = 0$ | $1 \times 5 = 5$ | $2 \times 5 = 10$ | $3 \times 5 = 15$ | … | $n \times 5 = 5n$ |
| Número de pessoas que souberam a notícia | $2$ | $2 \times 2 = 4$ | $2 \times 2 \times 2 = 8$ | $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ | … | $\underbrace {2 \times 2 \times … \times 2}_{\left( {n + 1} \right)\,\,fatores} = {2^{n + 1}}$ |
| Número de pessoas que sabiam a notícia | $1 + 2 = 3$ | $1 + 2 + 4 = 7$ | $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ | $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ | … | ${2^{n + 2}} – 1$ |
| $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … | $n$ |
- Às 12:10 horas, souberam a notícia $8$ alunos.
Às 12:15 horas, souberam a notícia $16$ alunos.
Até às 12:30 horas decorreram $6$ vezes $5$ minutos após as 12:00 horas. Logo, às 12:30 horas, souberam a notícia $\underbrace {2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}_{7\,\,fatores} = 128$ alunos.
- Às 12:00 horas, duas pessoas souberam a novidade. Passados $5$ minutos, souberam a novidade o dobro das pessoas que tomaram conhecimento às 12:00, e assim sucessivamente.
O Josué era o único aluno do 7.º ano que sabia a notícia antes das 12:00 horas.
Como até às 12:30 decorreram $6$ vezes $5$ minutos após as 12:00 horas, o número de alunos do 7.º ao que sabiam da visita de estudo é:
$$1 + 2 + \underbrace {4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128}_{6\,\,parcelas} = 255$$ - Às 12:35 horas, souberam a notícia os restantes $2 \times 128 = 256$ alunos do 7.º ano.
Logo, o 7.º ano tem $255 + 256 = 511$ alunos.
Nota:
Em alternativa, podem ser utilizadas as expressões do termo geral das sequências apresentadas na última coluna da tabela. Experimenta!
