Determine o ângulo que a recta $r$ faz com a recta $s$
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 19
Seja $(O,\vec{i},\vec{j})$ um referencial o. n. do plano.
Determine o ângulo que a reta r faz com a reta s:
- r: $(x,y)=(1,3)+k.(-2,-2)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ e s: $3y-x-2=0$;
- r: $x+2y+5=0$ e s: $y=\frac{3}{4}x-3$.
- A equação reduzida da reta s é $y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ , pelo que o seu declive é ${{m}_{s}}=\frac{1}{3}$.
Então, os vetores $\vec{r}(-2,-2)$ e $\vec{s}(3,1)$ (Porquê?) são diretores das retas r e s, respetivamente.Como \[\begin{array}{*{35}{l}}
\cos (\widehat{\vec{r}\,\vec{s}}) & = & \frac{(-2,-2).(3,1)}{\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}\times \sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}} \\
{} & = & \frac{-2\times 3-2\times 1}{2\sqrt{2}\times \sqrt{10}} \\
{} & = & -\frac{4}{2\sqrt{5}} \\
{} & = & -\frac{2\sqrt{5}}{5} \\
\end{array}\]
então $\widehat{\vec{r}\,\vec{s}}={{\cos }^{-1}}(-\frac{2\sqrt{5}}{5})\simeq 153,4{}^\text{o}$ e, portanto, o ângulo entre as retas r e s é de, aproximadamente, 26,6º.
-
A equação reduzida da reta r é $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$, pelo que o seu declive é ${{m}_{r}}=-\frac{1}{2}$.
Então, os vetores $\vec{r}(2,-1)$ e $\vec{s}(4,3)$ (Porquê?) são diretores das retas r e s, respetivamente.Como \[\begin{array}{*{35}{l}}
\cos (\widehat{\vec{r}\,\vec{s}}) & = & \frac{(2,-1).(4,3)}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}\times \sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}} \\
{} & = & \frac{2\times 4-1\times 3}{\sqrt{5}\times 5} \\
{} & = & \frac{5}{5\sqrt{5}} \\
{} & = & \frac{\sqrt{5}}{5} \\
\end{array}\]
então $\widehat{\vec{r}\,\vec{s}}={{\cos }^{-1}}(\frac{\sqrt{5}}{5})\simeq 63,4{}^\text{o}$ , que é também a amplitude do ângulo entre as retas r e s.
