Determina o conjunto-solução de cada uma das equações
Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 78 Ex. 23
Enunciado
Determina o conjunto-solução de cada uma das equações:
- ${{x}^{2}}-6x+9=0$
- ${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0$
- ${{x}^{2}}-16=0$
- $x({{x}^{2}}-25)=0$
- $8{{x}^{3}}-2x=0$
- $4{{x}^{2}}+4x+1=0$
- ${{x}^{2}}-36=0$
- ${{x}^{2}}-{{(3x+1)}^{2}}=0$
- ${{(x+1)}^{2}}-(x+1)=0$
Resolução
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}-6x+9=0 & \Leftrightarrow & {{(x-3)}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & (x-3)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x=3 \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ 3 \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0 & \Leftrightarrow & x({{x}^{2}}-2x+1)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x{{(x-1)}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x=0 & \vee & x-1=0 \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x=0 & \vee & x=1 \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ 0,1 \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}-16=0 & \Leftrightarrow & (x+4)(x-4)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x+4=0 & \vee & x-4=0 \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x=-4 & \vee & x=4 \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -4,4 \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
x({{x}^{2}}-25)=0 & \Leftrightarrow & x(x+5)(x-5)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 & \vee & x+5=0 & \vee & x-5=0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 & \vee & x=-5 & \vee & x=5 \\
\end{array} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -5,0,5 \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
8{{x}^{3}}-2x=0 & \Leftrightarrow & 2x(4{{x}^{2}}-1)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 2x(2x+1)(2x-1)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
2x=0 & \vee & 2x+1=0 & \vee & 2x-1=0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 & \vee & x=-\frac{1}{2} & \vee & x=\frac{1}{2} \\
\end{array} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -\frac{1}{2},0,\frac{1}{2} \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
4{{x}^{2}}+4x+1=0 & \Leftrightarrow & {{(2x+1)}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 2x+1=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x=-\frac{1}{2} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -\frac{1}{2} \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}-36=0 & \Leftrightarrow & (x+6)(x-6)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x+6=0 & \vee & x-6=0 \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x=-6 & \vee & x=6 \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -6,6 \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}-{{(3x+1)}^{2}}=0 & \Leftrightarrow & \left[ x+(3x+1) \right]\left[ x-(3x+1) \right]=0\,\,\,(Porqu\hat{e}?) \\
{} & \Leftrightarrow & (4x+1)(-2x-1)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
4x+1=0 & \vee & -2x-1=0 \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x=-\frac{1}{4} & \vee & x=-\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -\frac{1}{2},-\frac{1}{4} \right\}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{(x+1)}^{2}}-(x+1)=0 & \Leftrightarrow & (x+1)\left[ (x+1)-1 \right]=0 \\
{} & \Leftrightarrow & (x+1)x=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x+1=0 & \vee & x=0 \\
\end{matrix} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x=-1 & \vee & x=0 \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -1,0 \right\}$.
