Uma nódoa circular de tinta
Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 185 Ex. 11
Uma nódoa circular de tinta é detetada sobre um tecido.
O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detetada, é dado por: \[r(t)=\frac{1+3t}{4+t}\,,\,t\ge 0\]
- Calcule o raio da nódoa no instante em que foi detetada.
- Recorrendo à sua calculadora, indique:
- o instante em que o raio da nódoa atingiu 2 cm de comprimento;
- o menor comprimento, em centímetros, que o raio da nódoa nunca ultrapassará.
- Como $r(0)=\frac{1+3\times 0}{4+0}=0,25$, o raio da nódoa no instante em que foi detetada era de 0,25 cm.
- O raio da nódoa atingiu 2 cm de comprimento 7 segundos após ter sido detetada:
O menor comprimento que o raio da nódoa nunca ultrapassará é 3 cm: Validemos estes resultados analiticamente:\[\begin{array}{*{35}{l}}
r(t)=2 & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{1+3t}{4+t}=2 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{1+3t-8-2t}{4+t}=0 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{t-7}{4+t}=0 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
t=7 & \wedge & t\ne -4 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & t=7 \\
\end{array}\]Ora, \[r(t)=\frac{1+3t}{4+t}=\frac{3(4+t)-11}{4+t}=\frac{3(4+t)}{4+t}-\frac{11}{4+t}=3-\frac{11}{4+t}\]
Logo, quando $t\to +\infty $, $\frac{11}{4+t}\to {{0}^{+}}$ e, consequentemente, $r(t)=3-\frac{11}{4+t}\to {{3}^{-}}$.
