Um problema sobre os termos de uma fração

Se \(\frac{x}{y}\) é uma fração equivalente a \(\frac{2}{7}\) e a soma dos seus termos é igual a 72, então \(x – y\) é igual a:

[A] −56        [B] 40        [C] −40        [D] 56

Ora, se \(\frac{2}{7}\) é uma fração irredutível equivalente a \(\frac{x}{y}\), então essa fração irredutível pode ter sido obtida dividindo os termos da fração inicial por um número natural n. Isto é, a fração inicial é da forma \(\frac{{2n}}{{7n}}\).

Como a soma dos termos dessa fração é igual a 72, então será \(\begin{array}{*{20}{c}}{2n + 7n = 72}& \Leftrightarrow &{n = 8}\end{array}\).

Assim, a fração inicial (\(\frac{x}{y}\)) é \(\frac{{16}}{{56}}\).

Logo, \(x – y\) é igual a \(16 – 56 = – 40\).

Portanto, a opção correta é [C] −40.

Uma alternativa com um sistema de equações

Equacionando o problema e resolvendo o sistema de equações, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{y} = \frac{2}{7}}\\{x + y = 72}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x = 2y}\\{x = 72 – y}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{504 – 7y = 2y}\\{x = 72 – y}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9y = 504}\\{x = 72 – y}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 56}\\{x = 16}\end{array}} \right.}&{}\end{array}\]

Logo, \(x – y\) é igual a \(16 – 56 = – 40\).

Portanto, a opção correta é [C] −40.