Sabendo que…
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 40
Enunciado
- Sabendo que $tg\,\alpha =\frac{3}{4}$ e $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, determine $sen\,\alpha $ e $\cos \alpha $.
- Determine $sen\,\alpha $ e $\cos \alpha $, sabendo que $tg\,\alpha =-2$ e $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$.
Resolução
- Dado que $1+t{{g}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$, para $\cos \alpha \ne 0$, obtém-se para $tg\,\alpha =\frac{3}{4}$:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
1+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha } & \Leftrightarrow & \frac{25}{16}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha } \\
{} & \Leftrightarrow & {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{16}{25} \\
\end{array}\]
Como $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, então (o cosseno é negativo no 3.º Q): \[\cos \alpha =-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\]
Finalmente, substituindo os valores conhecidos na relação $tg\,\alpha =\frac{sen\,\alpha }{\cos \alpha }$, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{3}{4}=\frac{sen\,\alpha }{-\frac{4}{5}} & \Leftrightarrow & sen\,\alpha =\frac{3\times (-\frac{4}{5})}{4} \\
{} & \Leftrightarrow & sen\,\alpha =-\frac{3}{5} \\
\end{array}\]
- Dado que $1+t{{g}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$, para $\cos \alpha \ne 0$, obtém-se para $tg\,\alpha =-2$:
\[1+{{(-2)}^{2}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{5}\]
Como $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$, então (o cosseno é positivo no 4.º Q): \[\cos \alpha =+\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\]
Finalmente, substituindo os valores conhecidos na relação $tg\,\alpha =\frac{sen\,\alpha }{\cos \alpha }$, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
-2=\frac{sen\,\alpha }{\frac{\sqrt{5}}{5}} & \Leftrightarrow & sen\,\alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\
\end{array}\]
