A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: probabilidade

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Um quarto da população de uma vila foi vacinada

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 28

Enunciado

Um quarto da população de uma vila foi vacinada contra uma dada doença.

No decorrer de uma epidemia constatou-se que em cada vinte doentes há três vacinados.

a)
A vacina é eficaz?

A Maria pensou e resolveu o problema. Infelizmente a folha da resposta apanhou chuva e não se percebem alguns passos.

Veja se concorda com o modo como a Maria resolveu o problema e complete os passos que faltam até chegar à conclusão.

Para testar a

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Os habitantes de Vila Triste

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 27

Enunciado

Sobre os habitantes de Vila Triste com mais de 40 anos, sabe-se que:

  • 40% são homens;
  • 30% são analfabetos;
  • um quinto dos homens são analfabetos.
  1. Mostre que a probabilidade do acontecimento “ser homem e não ser analfabeto” é 32%.
  2. Escolhendo ao acaso um habitante de Vila Triste, qual a probabilidade de:

    a) ser homem ou analfabeto?

    b) ser analfabeto dado que é mulher? (apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.)

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Prove que

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 26

Enunciado

Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória e A e B ($B\ne \left\{ {} \right\}$) dois acontecimentos (A e B são, pois, subconjuntos de S).

Prove que:

  1. $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$
  2. Se $P(A)>P(B)$, então $P(A|B)\ge P(B|A)$
  3. $P(A|B)+P(\overline{A}|B)=1$

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Os funcionários de uma empresa

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 25

Enunciado

60% dos funcionários de uma empresa são homens.

De acordo com um estudo feito, a direção estima que 30% dos seus funcionários e 20% das suas funcionárias, estão aptos para desempenhar uma determinada tarefa, que exige rigor e competência.

Escolhendo ao acaso um trabalhador desta empresa, qual é a probabilidade de:

  1. ser homem e estar apto para desempenhar a tarefa?
  2. ser  mulher e estar apta para desempenhar a tarefa?
  3. ser homem, dado que não está apto para
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Jovens frequentadores de um ginásio

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 24

Enunciado

Entre 80 jovens frequentadores de um ginásio, fez-se um inquérito sobre a prática de surf e registaram-se os resultados: vinte das trinta raparigas disseram que praticam surf e 30 rapazes disseram não ser praticantes de surf.

  1. Escolhendo um destes jovens ao acaso, qual é a probabilidade de:

    a) praticar surf e ser rapaz?

    b) ser rapariga, sabendo-se que faz surf?

  2. Mostre que, neste grupo do ginásio, praticar surf não é independente dos acontecimentos ser rapaz ou ser
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Estudo de línguas estrangeiras (2)

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 23

Enunciado

Numa turma, todos os alunos estudam duas, e só duas, línguas estrangeiras: ou Inglês (I) e Alemão (A) ou Inglês (I) e Espanhol (E).

  • 60% dos alunos da turma estudam Alemão;
  • 75% dos alunos da turma são raparigas;
  • metade dos alunos da turma de Espanhol são rapazes.
  1. Calcule a probabilidade dos acontecimentos:

    a) M: “o aluno é um rapaz”;

    b) E: “o aluno estuda Espanhol”;

    c) $F\cap A$: “o aluno é uma rapariga que estuda alemão”.

  2. Determine
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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Estudo de línguas estrangeiras (1)

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 22

Enunciado

Numa classe, todos os alunos estudam duas, e só duas, línguas estrangeiras: ou Inglês (I) e Alemão (A) ou Inglês (I) e Espanhol (E).

A repartição de alunos é a seguinte:

Caraterística FA MA FE ME
Efetivos 12 6 8 10

Em que M representa rapaz e F rapariga.

  1. Calcule a probabilidade dos acontecimentos:

    a) M: “o aluno é um rapaz”;

    b) E: “o aluno estuda Espanhol”;

    c) $F\cap A$: “o aluno é uma rapariga que estuda

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Um dado está viciado

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 168 Ex. 20

Enunciado

Um dado está viciado de tal modo que a probabilidade de obter um número par é dupla da probabilidade de obter um número ímpar.

  1. Qual a probabilidade de obter um número par?
  2. Qual a probabilidade de obter 1 ponto.

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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

O jogo solitário da roleta russa

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 167 Ex. 19

Enunciado

“… perguntei a Graham Greene o que havia de verdade no episódio da roleta russa que ele relatara nas suas memórias. Os seus olhos azuis, os mais diáfanos que conheci, iluminaram-se com a recordação. “Isso foi aos dezanove anos“, disse, “quando me apaixonei pela professora da minha irmã“. Contou que, de facto, tinha então jogado o jogo solitário da roleta russa, com um velho revólver de um irmão, em quatro ocasiões diferentes. Entre … Ler mais

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Três emissoras de rádio

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 167 Ex. 18

Enunciado

Numa dada região há três emissoras de rádio: a Rádio Jovem, a Rádio Moderna e a Rádio Alegria.

55% dos habitantes ouvem a Rádio Jovem, 38% ouvem a Rádio Moderna e 33% ouvem a Rádio Alegria.

15% ouvem as emissoras Jovem e Moderna, 11% Jovem e Alegria, 9% Moderna e Alegria e 4% ouvem as três emissoras.

Sejam os acontecimentos:

  • A: “ouvir a Rádio Alegria”;
  • J: “ouvir a Rádio Jovem”;
  • M: “ouvir a Rádio Moderna”.
  1. Calcule a
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Lançaram-se simultaneamente três dados

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 167 Ex. 17

Enunciado

Lançaram-se simultaneamente três dados: um vermelho, um verde e um azul.

Representa-se cada lançamento pelo terno (a,b,c) em que a designa a pontuação do dado vermelho, b a do dado verde e c a do dado azul.

Determine:

  1. o número de ternos diferentes que se pode obter;
  2. a probabilidade de $a+b+c$ ser igual a 9.

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

De um baralho com 52 cartas

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 167 Ex. 16

Enunciado

De um baralho com 52 cartas extraem-se, sucessivamente e com reposição, duas cartas.

  1. Qual é a probabilidade das duas cartas tiradas ao acaso:

    a) A: “serem um rei e uma dama” (por qualquer ordem)?

    b) B: “serem ambas de espadas”?

    c) C: “não serem de paus”?

    d) D: “uma, pelo menos, ser uma copa”?

  2. Repita as alíneas anteriores, supondo que se extraem as duas cartas sem reposição.

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Uma urna contém seis bolas numeradas

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 167 Ex. 14

Enunciado

Uma urna contém seis bolas numeradas: três vermelhas, respetivamente, com os números 1, 3 e 5 e três pretas com os números 2, 4 e 6, respetivamente.

Tiram-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da urna para formar um número: a primeira bola extraída indica o algarismo das unidades e a segunda o algarismos das dezenas.

  1. Efetuando todas as extrações possíveis, quantos números diferentes podemos escrever?  
  2. Qual a probabilidade do número ser formado por
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