De um baralho com 52 cartas
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 167 Ex. 16
De um baralho com 52 cartas extraem-se, sucessivamente e com reposição, duas cartas.
- Qual é a probabilidade das duas cartas tiradas ao acaso:
a) A: “serem um rei e uma dama” (por qualquer ordem)?
b) B: “serem ambas de espadas”?
c) C: “não serem de paus”?
d) D: “uma, pelo menos, ser uma copa”?
- Repita as alíneas anteriores, supondo que se extraem as duas cartas sem reposição.
- A primeira carta pode ser extraída de 52 maneiras diferentes e a segunda também de 52 maneiras diferentes.
Logo, existem $\text{52}\times \text{52=2704}$ resultados possíveis nesta experiência aleatória.a)
Há duas situações diferentes para obter um rei e uma dama: RD e DR.
Cada uma destas situações pode ser obtida de $\text{4}\times \text{4=16}$ maneiras diferentes. Por exemplo, na primeira situação, existem 4 maneiras de obter um rei na 1.ª extração e também 4 maneiras de obter uma dama na 2.ª extração.
Logo, sendo $\text{NCF=16+16=32}$, vem $\text{P(A)=}\frac{32}{52\times 52}=\frac{2}{169}$.b)
Existem 13 maneiras diferentes de obter uma carta de espadas na 1.ª extração, bem como 13 maneiras diferentes de obter uma carta de espadas na 2.ª extração.
Logo, sendo $NCF=13\times 13=169$, vem $\text{P(B)=}\frac{13\times 13}{52\times 52}=\frac{1}{16}$.c)
Existem 39 maneiras diferentes de extrair uma carta que não é de paus na 1.ª extração, bem como igual número na 2.ª extração.
Logo, sendo $NCF=39\times 39=1521$, vem $P(C)=\frac{39\times 39}{52\times 52}=\frac{9}{16}$.Nota: Repare que o acontecimento contrário de C não é “serem ambas de paus” (qual é?). O valor das probabilidades obtidas nas alíneas b) e c) comprovam isso mesmo.
d)
Há três situações diferentes para obter, pelo menos, uma copa: C_, _C e CC.
Às quais correspondem, respetivamente, $13\times 39$, $39\times 13$ e $13\times 13$ maneiras diferentes de as obter.
Logo, sendo $NCF=13\times 39+39\times 13+13\times 13=1183$, vem $P(D)=\frac{13\times 39+39\times 13+13\times 13}{52\times 52}=\frac{7}{16}$.Nota: Considerando o acontecimento contrário de F, isto é, $\overline{F}$: “qualquer uma não ser copa”, vem $P(D)=1-P(\overline{F})=1-P(C)=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$.
Repare: $\sim (\exists x:x\text{ }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ copa})\Leftrightarrow \forall x,x\text{ n }\!\!\tilde{\mathrm{a}}\!\!\text{ o }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ copa}$.
- A primeira carta pode ser extraída de 52 maneiras diferentes e a segunda de 51 maneiras diferentes.
Logo, existem $\text{52}\times \text{51=2652}$ resultados possíveis nesta experiência aleatória.a)
Há duas situações diferentes para obter um rei e uma dama: RD e DR.
Cada uma destas situações pode ser obtida de $\text{4}\times \text{4=16}$ maneiras diferentes. Por exemplo, na primeira situação, existem 4 maneiras de obter um rei na 1.ª extração e também 4 maneiras de obter uma dama na 2.ª extração.
Logo, sendo $\text{NCF=16+16=32}$, vem $\text{P(A)=}\frac{32}{52\times 51}=\frac{8}{663}$.b)
Existem 13 maneiras diferentes de obter uma carta de espadas na 1.ª extração e 12 maneiras diferentes de obter uma carta de espadas na 2.ª extração.
Logo, sendo $NCF=13\times 12=156$, vem $\text{P(B)=}\frac{13\times 12}{52\times 51}=\frac{1}{17}$.c)
Existem 39 maneiras diferentes de extrair uma carta que não é de paus na 1.ª extração e 38 na 2.ª extração.
Logo, sendo $NCF=39\times 38=1482$, vem $P(C)=\frac{39\times 38}{52\times 51}=\frac{19}{34}$.Nota: Repare que o acontecimento contrário de C não é “serem ambas de paus” (qual é?). O valor das probabilidades obtidas nas alíneas b) e c) comprovam isso mesmo.
d)
Há três situações diferentes para obter, pelo menos, uma copa: C_, _C e CC.
Às quais correspondem, respetivamente, $13\times 39$, $39\times 13$ e $13\times 12$ maneiras diferentes de as obter.
Logo, sendo $NCF=13\times 39+39\times 13+13\times 12=1170$, vem $P(D)=\frac{13\times 39+39\times 13+13\times 12}{52\times 51}=\frac{15}{34}$.Nota: Considerando o acontecimento contrário de F, isto é, $\overline{F}$: “qualquer uma não ser copa”, vem $P(D)=1-P(\overline{F})=1-P(C)=1-\frac{19}{34}=\frac{15}{34}$.
Repare: $\sim (\exists x:x\text{ }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ copa})\Leftrightarrow \forall x,x\text{ n }\!\!\tilde{\mathrm{a}}\!\!\text{ o }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ copa}$.
