Prove que
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 21
Enunciado
Prove que, sendo $A\cap B=\left\{ {} \right\}$, então:
- $P(A)+P(B)+P(\overline{A\cup B})=1$
- $P(\overline{A\cup B})=P(\overline{A})-P(B)$
Resolução
- $P(A)+P(B)+P(\overline{A\cup B})=1$, com $A\cap B=\left\{ {} \right\}$.
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(A)+P(B)+P(\overline{A\cup B}) & = & P(A)+P(B)+1-P(A\cup B) \\
{} & = & P(A)+P(B)+1-P(A)-P(B)+P(A\cap B) \\
{} & = & 1+P(A\cap B) \\
\end{array}\]
Como $A\cap B=\left\{ {} \right\}$, então $P(A\cap B)=0$.Logo, sendo $A\cap B=\left\{ {} \right\}$, então $P(A)+P(B)+P(\overline{A\cup B})=1$.
- $P(\overline{A\cup B})=P(\overline{A})-P(B)$, com $A\cap B=\left\{ {} \right\}$.
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(\overline{A\cup B}) & = & 1-P(A\cup B) \\
{} & = & 1-P(A)-P(B)+P(A\cap B) \\
{} & = & P(\overline{A})-P(B)+P(A\cap B) \\
\end{array}\]
Como $A\cap B=\left\{ {} \right\}$, então $P(A\cap B)=0$.Logo, sendo $A\cap B=\left\{ {} \right\}$, então $P(\overline{A\cup B})=P(\overline{A})-P(B)$.
