A Casinha da Matemática Blog

Considere a função $f$ 0

Considere a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

  1. Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
    Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
     
  2. Estude
Dada a função $f$ 0

Dada a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 53 Ex. 24

Enunciado

Dada a função $f$ tal que $$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x + \cos x$$

  1. Encontre $a$ e $\alpha $ de modo que $$f(x) = a\operatorname{sen} \left( {x + \alpha } \right)$$
     
  2. Resolva a equação $f(x) = 1$.

Resolução >> Resolução

$$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x …

Determine as expressões designatórias das funções derivadas 0

Determine as expressões designatórias das funções derivadas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23

Enunciado

  1. Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:
     
    a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$
     
    b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$
     
    c) $h:\alpha  \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$
     
    d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$
     
    e) $j:t \to \cos \left( {4
Calcule a derivada de cada uma das funções 0

Calcule a derivada de cada uma das funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22

Enunciado

Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:

  1. $f:x \to 3 + 2\cos x$
     
  2. $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
     
  3. $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
     
  4. $i:z \to 3z\cos z$
     
  5. $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {3 +
Determine a expressão designatória da função derivada 1

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
     
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
     
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
      {}& = &{2 \times
2

Ficha de trabalho

9.º Ano: Equação do 2.º grau

A presente Ficha de Trabalho aborda o tema Equação do 2.º grau.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

A realização da Ficha de Trabalho de …

0

A largura da calçada

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 10

Enunciado

O Sr. José foi contratado para fazer uma calçada à volta de dois lados de um terreno retangular.

O terreno mede 20 metros por 30 metros, como indica a figura, e a calçada deve ter sempre a mesma largura.

Sabendo que o Sr. José dispõe de 72 …

3

O comprimento do lado do quadrado

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 9

Enunciado

De um quadrado de cartão, de lado $x$ centímetros, foi retirado, em cada canto, um quadradinho com 2 centímetros de lado, como mostra a figura.

  1. Calcula o valor de $x$, sabendo que a figura restante tem área 65 cm2.
     
  2. Depois de cortado o cartão, construímos
0

Quantas avelãs tem o Kiló?

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 8

Enunciado

O Esquilo Kili diz ao Esquilo Kiló:

– Só tenho duas avelãs!

E o Kiló respondeu:

– Metade do quadrado do número das minhas avelãs é igual ao seu quíntuplo. E tenho mais avelãs do que tu!

Quantas avelãs tem o Kiló?

Resolução >> Resolução

Seja $x$ …

Qual deve ser o valor? 0

Qual deve ser o valor?

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 5

Enunciado

Qual deve ser o valor de:

  1. $m$, para que a equação $2{x^2} – 3mx + 2 = 0$ possua apenas uma raiz?
     
  2. $n$, para que a equação ${x^2} – 6x + n – 4 = 0$ possua raízes reais?
     
  3. $p$, para que a equação $\left( {2p +
Resolve as equações 0

Resolve as equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 68 Ex. 3

Enunciado

Resolve as equações:

  1. ${\sqrt 2 {x^2} + 11x = 0}$
     
  2. ${x^2} + 9 = 0$
     
  3. $5a + {\left( {a + 2} \right)^2} = 3a\left( {a + 2} \right) + a$
     
  4. $4,8{x^2} – 8,4x + 2,4 = 0$
     
  5. $\frac{{a – 1}}{2} – \frac{{a\left( {3 – a} \right)}}{3} =
Escreve uma equação do 2.º grau 0

Escreve uma equação do 2.º grau

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 66 Ex. 13

Enunciado

Escreve uma equação do 2.º grau que admita as soluções 1 e 2.

Resolução >> Resolução

Soma e produto das raízes de uma equação do 2.º grau:

Se ${x_1}$ e ${x_2}$ são as duas raízes reais de uma equação do 2.º grau, essa equação pode ser

Escreve uma equação do 2.º grau 1

Escreve uma equação do 2.º grau

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 66 Ex. 12

Enunciado

Escreve uma equação do 2.º grau sabendo que:

  1. $S = 3$ e $P = 2$;
     
  2. $S =  – \frac{1}{2}$ e $P = \frac{3}{4}$.

Resolução >> Resolução

Soma e produto das raízes de uma equação do 2.º grau: Se ${x_1}$ e ${x_2}$ são as duas raízes reais

Determina o binómio discriminante 0

Determina o binómio discriminante

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 65 Ex. 9

Enunciado

Para cada uma das equações determina o binómio discriminante e diz quantas soluções tem:

  1. ${x^2} – 2x + 1 = 0$
     
  2. $2{x^2} – x – 1 = 0$
     
  3. ${x^2} + 3x + 4 = 0$
     
  4. ${a^2} – 7a – 18 = 0$

Resolução >> Resolução

Número de

Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente 0

Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 64 Ex. 8

Enunciado

Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente:

  1. $2{x^2} + 4x – 4 = 0$
     
  2. $6{x^2} + 5x + 1 = 0$
     
  3. ${x^2} – 4x + 4 = 0$
     
  4. ${x^2} – 3x + 2 = 0$
     
  5. ${x^2} – \frac{5}{3}x – \frac{2}{3} = 0$
     
  6. $x\left( {x – 8}
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Resolve as seguintes equações pelo processo mais adequado:

  1. ${x^2} – 2x + 1 = 0$
     
  2. $9{x^2} + 12x + 4 = 0$
     
  3. $4{x^2} – 20x + 25 = 0$
     
  4. ${x^2} – 8x = 4$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2}

Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 60 Ex. 4

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $3{x^2} – 7 = 0$
     
  2. $2\left( {{x^2} + x} \right) = x$
     
  3. $\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}$
     
  4. $2{x^2} + 3 = 0$
     
  5. $\frac{4}{7}\left( {x – 2} \right)(x + 2) + x = \frac{{9 + 7x}}{7}$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B}

0

Determine

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18

Enunciado

  1. Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
     
  2. Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na
Calcule, se existir 0

Calcule, se existir

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17

Enunciado

Calcule, se existir:

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
     
  2. $\mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
     
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
     
  4. $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$

Resolução >> Resolução

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} x}}{x}

0

Considere as funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 4

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:

$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$

$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$

Utilize métodos exclusivamente analíticos para responder às duas primeiras questões.

  1. Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos
0

Prendeu-se um carrinho à extremidade de uma mola

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3

Enunciado

Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.

A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.

Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada …

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Considere a função real de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 2

Enunciado

Considere a função real de variável real assim definida: $$f(x) = 1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$$

  1. O gráfico seguinte representa a função co-seno. Explique como a partir dele obtém o gráfico de $f$.
  2. Calcule o valor exato de $f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) –
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Uma folha dobrada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 1

Enunciado

Depois de dobrada uma folha de papel retangular, o vértice A coincide com o vértice C.

Calcule o comprimento do vinco, sabendo que $\overline {AB}  = 24\,cm$ e $\overline {AD}  = 18\,cm$.

Resolução >> Resolução Ao dobrar a folha fazendo coincidir os pontos A e C, verifica-se …

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A diferença de potencial

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 41 Ex. 14

Enunciado

A diferença de potencial, medida em Volt, entre dois pontos de um circuito é dada por:

$$u(t) = 220\sqrt 2 \operatorname{sen} \left( {100\pi t + \frac{4}{5}\pi } \right)$$

($t$ em segundos)

  1. Mostre que $\frac{1}{{50}}$ é período da função $u$.
     
  2. Represente graficamente a função $u$.

Resolução >>

Mostre que as funções são idênticas 0

Mostre que as funções são idênticas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 36 Ex. 13

Enunciado

Mostre que a função $x \to f(x) = 2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)$ é idêntica à função $x \to g(x) = 2\operatorname{sen} \left( {4x – \frac{\pi }{2}} \right)$.

Resolução >> Resolução

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}   {f(x)}& = &{2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)} \\   {}& = …