Um hexágono regular

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 58 Ex. 15

by AMMA · Published 22 de Novembro de 2022 · Updated 13 de Dezembro de 2022

Enunciado

Na figura está representado um hexágono regular, com 5 cm de lado, inscrito numa circunferência de centro O e um quadrado circunscrito à mesma circunferência.

Decompõe o hexágono em triângulos, em que um dos vértices é O e o lado oposto é um dos lados do polígono. Como classificas cada um desses triângulos quanto aos lados? Justifica.
Determina:

o comprimento do apótema do hexágono;
a área do hexágono;
o perímetro do quadrado.

Resolução

O hexágono está decomposto em seis triângulos equiláteros e geometricamente iguais, conforme se explicará de seguida.
Ora, o ângulo AOB é um sexto de um ângulo giro e, por isso, a sua amplitude é 60°.
Podemos também reparar que os segmentos de reta [AO] e [BO] são raios da mesma circunferência. Consequentemente, os ângulos internos do triângulo [ABO] opostos a esses lados serão geometricamente iguais, pois, num triângulo, a lados iguais opôem-se ângulos iguais.
Assim, podemos determinar a amplitude dos ângulos OAB e OBA:
\[O\widehat AB = O\widehat BA = \frac{{180^\circ – A\widehat OB}}{2} = \frac{{180^\circ – 60^\circ }}{2} = 60^\circ \]
Desta forma, como o triângulo [AOB] é equiângulo, então será também equilátero.
Por isso, o hexágono está decomposto em seis triângulos equiláteros e geometricamente iguais.

O apótema do hexágono é o segmento de reta [OM].
Convém recordar que \(\overline {OA} = \overline {OB} = \overline {AB} = r = 5\) cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ABO], temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {OM} }& = &{\sqrt {{{\overline {OB} }^2} – {{\overline {BM} }^2}} }\\{}& = &{\sqrt {{5^2} – {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} }\\{}& = &{\sqrt {25 – \frac{{25}}{4}} }\\{}& = &{\sqrt {\frac{{4 \times 25}}{4} – \frac{{25}}{4}} }\\{}& = &{\sqrt {3 \times \frac{{25}}{4}} }\\{}& = &{\frac{5}{2}\sqrt 3 }\end{array}\]
Portanto, o comprimento do apótema do hexágono é \({a_p} = \overline {OM} = \frac{5}{2}\sqrt 3 = \sqrt {18,75} \) cm.
A área do hexágono é \({A_{{\rm{Hexágono}}}} = \frac{{75\sqrt 3 }}{2} = 15\sqrt {18,75} \) cm²:
\[{A_{{\rm{Hexágono}}}} = 6 \times {A_{\left[ {ABO} \right]}} = 6 \times \frac{{\overline {AB} \times \overline {OM} }}{2} = 6 \times \frac{{5 \times \frac{5}{2}\sqrt 3 }}{2} = 3 \times 5 \times \frac{5}{2}\sqrt 3 = \frac{{75\sqrt 3 }}{2}\]
O perímetro do quadrado é \({P_{{\rm{Quadrado}}}} = 4 \times \left( {2 \times \overline {AB} } \right) = 4 \times 10 = 40\) cm.