A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Atividade terapêutica de um medicamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 67

Enunciado

A tabela seguinte refere-se aos dados obtidos nos estudos clínicos realizados para avaliar a atividade terapêutica de um medicamento.

Fases da experiência 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª
N.º de doentes medicados 120 235 528 822 1099 2244
N.º de doentes que melhoraram 52 126 310 490 659 1346
  1. Com base nos resultados obtidos, os investigadores concluíram que a probabilidade de obter êxito com o referido medicamento é de 60%.

    a) Comente a conclusão a que chegaram

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Grupos sanguíneos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 66

Enunciado

Os seres humanos estão repartidos, segundo a composição do seu sangue, em quatros grupos: O, A, B e AB.

Num conjunto de 10 dadores de sangue, quatro pertencem ao grupo O, três ao grupo A, dois ao grupo B e um ao grupo AB.

Escolhidas, ao acaso, quatro pessoas desse conjunto:

  1. qual é a probabilidade das quatro pertencerem ao mesmo grupo sanguíneo?
  2. qual é a probabilidade de pelo menos três delas pertencerem ao mesmo grupo sanguíneo?
  3. sabendo
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Uma viagem a Paris

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 65

Enunciado

Suponha que lhe propõem três estratégias diferentes para ganhar uma viagem a Paris:

1.ª estratégia – no lançamento de uma moeda quatro vezes consecutivas, obtém 4 faces nacionais (N) seguidas;

2.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém a seguinte sequência: NENNE;

3.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém 3 faces nacionais (N) e 2 faces europeias (E).

Qual das estratégias escolheria?

Faça uma pequena composição onde explicite … Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Um teste de escolha múltipla

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 64

Enunciado

Num teste de escolha múltipla com cinco questões em que, para cada questão, existem três respostas possíveis, só uma sendo correta, um aluno, que não tinha estudado, decide responder ao acaso.

Qual a probabilidade de:

  1. não acertar nenhuma?
  2. acertar em pelo menos uma?
  3. acertar em todas?
  4. acertar em 3, no máximo?

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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

Uma urna contém seis bolas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 63

Enunciado

Uma urna contém 6 bolas, cada uma das quais tem uma letra A, B, C, D, E ou F.

Estas letras são igualmente os vértices do hexágono regular representado ao lado.

  1. Tiram-se, ao acaso e simultaneamente, três bolas e anotam-se as letras inscritas.
    Qual é o espaço de resultados?
  2. A cada extração corresponde um triângulo T, cujos vértices são também vértices do hexágono.
    Determine a probabilidade de cada um dos acontecimentos seguintes e descreva, em cada caso,
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Um poliedro de nove faces

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 60

Enunciado

Considere, agora, o poliedro do problema anterior num referencial o. n. Oxyz, de tal forma que:

  • o vértice O coincida com a origem do referencial;
  • o vértice N pertença ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice P pertença ao semieixo positivo Oy.
  1. Escolhendo, ao acaso, três dos nove vértices do sólido representado, qual é a probabilidade de pertencerem à mesma face?
  2. Dois amigos escolheram cada um, em segredo, um dos nove vértices do sólido.
    Qual é a probabilidade
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Oito livros

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 57

Enunciado

Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, oito livros todos distintos, dois dos quais são de Inglês.

De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois livros de Inglês fiquem juntos?

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Num saco existem doze cartões

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 56

Enunciado

Num saco existem doze cartões de igual forma e material, dos quais quatro são verdes, quatro são azuis e quatro são pretos.

Para cada uma das cores, os cartões estão numerados de 1 a 4.

  1. Retirando do saco, um a um, todos os cartões e dispondo-os em fila, qual é a probabilidade dos cartões com os mesmos algarismos ficarem todos juntos?
    Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
  2. Suponha que se retiraram do saco alguns cartões.
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Parque de estacionamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 55

Enunciado

Seis amigos chegam à escola conduzindo cada um a sua motorizada e encontram os dez lugares do parque de estacionamento vazios.

  1. De quantas formas podem estacionar as motorizadas se não houver qualquer restrição?
  2. Supondo que os lugares de estacionamento lhes foram atribuídos ao acaso, qual a probabilidade de ficarem todos juntos, num dos extremos do estacionamento?

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Números com quatro algarismos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 173 Ex. 40

Enunciado

Considere todos os números com quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9.

Escolhido um desses números ao acaso, qual é a probabilidade de ser um número ímpar, de ter os algarismos todos diferentes e começar por 8?

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Um fabricante de bicicletas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 173 Ex. 39

Enunciado

Um fabricante de bicicletas atribui um código de fabrico a cada bicicleta que produz.

Cada código é formado por quatro algarismos (de 0 a 9) colocados por uma certa ordem.

Escolhida uma bicicleta ao acaso, qual a probabilidade do seu código ter exatamente três zeros?

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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

Iogurtes e sumos

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

Considere um espaço de resultados finito, $\Omega $, associado a uma certa experiência aleatória.

A propósito de dois acontecimentos X e Y ($X\subset \Omega $ e $Y\subset \Omega $), sabe-se que:

  • $P(X)=a$
  • $P(Y)=b$
  • X e Y são independentes
  1. Mostre que a probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y é igual a $1-a-b+a\times b$.
  2. Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos.

    Tiram-se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Próximo de uma praia portuguesa

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

  1. Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
    Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset \Omega $ e $B\subset \Omega $), com $P(A)>0$.
    Mostre que: \[\frac{P(\overline{B})-P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(A)}=1-P(B|A)\]
  2. Próximo de uma praia portuguesa, realiza-se um acampamento internacional de juventude, no qual participam jovens de ambos os sexos.
    Sabe-se que:

    – a quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros;

    – 52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino;

    –

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

De uma caixa com dez bolas brancas e algumas bolas pretas

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

De uma caixa com dez bolas brancas e algumas bolas pretas, extraem-se sucessivamente, e ao acaso, duas bolas, não repondo a primeira bola extraída, antes de retirar a segunda.

Considere os seguintes acontecimentos:

  • A: «a primeira bola extraída é preta»;
  • B: «a segunda bola extraída é branca».

Sabe-se que $P(B|A)=\frac{1}{2}$.

Quantas bolas pretas estão inicialmente na caixa?
Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado de $P(B|A)$, no contexto da situação descrita.

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