Próximo de uma praia portuguesa
Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
- Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset \Omega $ e $B\subset \Omega $), com $P(A)>0$.
Mostre que: \[\frac{P(\overline{B})-P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(A)}=1-P(B|A)\] - Próximo de uma praia portuguesa, realiza-se um acampamento internacional de juventude, no qual participam jovens de ambos os sexos.
Sabe-se que:– a quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros;
– 52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino;
– considerando apenas os participantes portugueses, 3 em cada 5 são rapazes.
No último dia, a organização vai sortear um prémio, entre todos os jovens participantes no acampamento.
Qual é a probabilidade de o prémio sair a uma rapariga estrangeira? Apresente o resultado na forma de percentagem.
Nota: se desejar, pode utilizar a igualdade da alínea anterior (nesse caso, comece por identificar claramente, no contexto do problema, os acontecimentos A e B); no entanto, pode optar por resolver por outro processo (como, por exemplo, através de uma tabela de dupla entrada ou de um diagrama em árvore).
- Para $P(A)>0$ e aplicando propriedades das operações entre conjuntos e das probabilidades, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{P(\overline{B})-P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(A)} & = & \frac{1-P(B)-P(\overline{A\cup B})}{P(A)} \\
{} & = & \frac{1-P(B)-\left( 1-P(A\cup B) \right)}{P(A)} \\
{} & = & \frac{1-P(B)-\left( 1-P(A)-P(B)+P(A\cap B) \right)}{P(A)} \\
{} & = & \frac{1-P(B)-1+P(A)+P(B)-P(A\cap B)}{P(A)} \\
{} & = & \frac{P(A)-P(A\cap B}{P(A)} \\
{} & = & 1-P(B|A) \\
\end{array}\]
- Sejam A: “ser português” e B: “ser rapaz”.
Sabe-se que:– a quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros; → $P(A)=\frac{1}{4}$
– 52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino; → $P(\overline{B})=0,52$
– considerando apenas os participantes portugueses, 3 em cada 5 são rapazes. → $P(B|A)=\frac{3}{5}$
Aplicando a igualdade da alínea anterior, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{0,52-P(\overline{A}\cap \overline{B})}{\frac{1}{4}}=1-\frac{3}{5} & \Leftrightarrow & 4\times \left( 0,52-P(\overline{A}\cap \overline{B}) \right)=\frac{2}{5} \\
{} & \Leftrightarrow & 0,52-P(\overline{A}\cap \overline{B})=\frac{1}{10} \\
{} & \Leftrightarrow & P(\overline{A}\cap \overline{B})=0,42 \\
\end{array}\]
Portanto, a probabilidade de o prémio ser entregue a uma rapariga estrangeira é 0,42.
Sejam A: “ser português” e B: “ser rapaz”.
Sabe-se que:
- a quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros; → $P(A)=\frac{1}{4}$
- 52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino; → $P(\overline{B})=0,52$
- considerando apenas os participantes portugueses, 3 em cada 5 são rapazes. → $P(B|A)=\frac{3}{5}$
| B | $\overline{B}$ | Total | |
| A | 0,15 | 0,1 | 0,25 |
| $\overline{A}$ | |||
| Total | 0,52 | 1 |
Ora, $P(A\cap B)=P(A)\times (B|A)=\frac{1}{4}\times \frac{3}{5}=0,15$.
Logo, $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0,25-0,15=0,1$.
Finalmente, $P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{B})-P(A\cap \overline{B})=0,52-0,1=0,42$.
Portanto, a probabilidade de o prémio ser entregue a uma rapariga estrangeira é 0,42.
