Iogurtes e sumos
Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
Considere um espaço de resultados finito, $\Omega $, associado a uma certa experiência aleatória.
A propósito de dois acontecimentos X e Y ($X\subset \Omega $ e $Y\subset \Omega $), sabe-se que:
- $P(X)=a$
- $P(Y)=b$
- X e Y são independentes
- Mostre que a probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y é igual a $1-a-b+a\times b$.
Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos.
Tiram-se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e um sumo.
Sabe-se que a probabilidade de o iogurte ser de pêssego é $\frac{1}{5}$ e a probabilidade de o sumo ser de laranja é $\frac{1}{3}$.
Admita que os acontecimentos «tirar um iogurte de pêssego» e «tirar um sumo de laranja» são independentes.
Utilizando a expressão mencionada na alínea anterior, determine a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um iogurte e um sumo do frigorífico, o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
- Aplicando propriedades das operações entre conjuntos e das probabilidades, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(\overline{X}\cap \overline{Y}) & = & P(\overline{X\cup Y}) \\
{} & = & 1-P(X\cup Y) \\
{} & = & 1-P(X)-P(Y)+P(X\cap Y) \\
\end{array}\]
Como os acontecimentos X e Y são independentes, então $P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)$.Assim, tendo isto em consideração, que $P(X)=a$ e que $P(Y)=b$, vem: \[\begin{matrix}
P(\overline{X}\cap \overline{Y}) & = & 1-a-b+a\times b \\
\end{matrix}\]
Portanto, a probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y é igual a $1-a-b+a\times b$.
- Sejam X: «tirar um iogurte de pêssego» e Y: «tirar um sumo de laranja».
Portanto, a probabilidade pedida é $P(\overline{X}\cap \overline{Y})$, com $P(X)=a=\frac{1}{5}$ e $P(Y)=b=\frac{1}{3}$.
Logo, a probabilidade pedida, considerando a expressão mencionada na alínea anterior, é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(\overline{X}\cap \overline{Y}) & = & 1-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{3} \\
{} & = & \frac{15-3-5+1}{15} \\
{} & = & \frac{8}{15} \\
\end{array}\]
