Num saco existem doze cartões
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 56
Num saco existem doze cartões de igual forma e material, dos quais quatro são verdes, quatro são azuis e quatro são pretos.
Para cada uma das cores, os cartões estão numerados de 1 a 4.
- Retirando do saco, um a um, todos os cartões e dispondo-os em fila, qual é a probabilidade dos cartões com os mesmos algarismos ficarem todos juntos?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível. - Suponha que se retiraram do saco alguns cartões.
Sabe-se que se extrairmos, ao acaso, um cartão do saco:
– a probabilidade desse cartão ser verde é 60%;
– a probabilidade desse cartão ter o número 4 é 30%;
– a probabilidade desse cartão ser verde ou ter o número 4 é 75%.Numa pequena composição comente a afirmação:
“Pode afirmar-se, perante as condições enunciadas, que o cartão verde número 4 está no saco.”
| 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
- Os doze cartões podem ser dispostos em fila de $NCP={{P}_{12}}$ modos diferentes.
Para que os cartões com o mesmo algarismo fiquem juntos, estes têm de ficar agrupados em 4 blocos de 3 cartões com o mesmo algarismo. Estes 4 blocos podem ser dispostos de ${{P}_{4}}$ modos diferentes.
Para cada uma dessas configurações, os três cartões com o mesmo algarismo, em cada um dos 4 blocos, podem ser dispostos de ${{P}_{3}}$ modos diferentes.
Logo, o número de casos favoráveis é $NCF=4!\times 3!\times 3!\times 3!\times 3!$.
Portanto, a probabilidade pedida é $$p=\frac{4!\times 3!\times 3!\times 3!\times 3!}{12!}=\frac{1}{15400}$$ - Consideremos os seguintes acontecimentos:
A: “O cartão extraído é verde”;
B: “O cartão extraído tem o número 4”.
Como sabemos, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Substituindo os valores conhecidos, vem: $$\begin{matrix}
0,75=0,6+0,3-P(A\cap B) & \Leftrightarrow & P(A\cap B)=0,15 \\
\end{matrix}$$
Ou seja, a probabilidade de o cartão extraído ser verde com o número 4 é 15%.Logo, podemos afirmar, perante as condições enunciadas, que o cartão verde número 4 está no saco.
