A Casinha da Matemática

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Do terraço de um prédio lançou-se uma bola para cima. A altura a (em decâmetros), a que a bola se encontra da rua, é dada em função do tempo (em segundos) pela expressão:
\[a(t)=-0,5{{t}^{2}}+4t+4,5\]

1. Qual é a altura do terraço?
2. Qual o intervalo de tempo em que a bola está acima dos 120 metros?
3. Compare os valores da velocidade média nos intervalos [0, 2] e [2, 3]. Que conclui?
4. Qual é a altura máxima que a bola

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A lei de Boyle afirma que, se a temperatura permanece constante, a pressão $p$ e o volume $v$ (em m³) de um certo gás dentro de um recipiente estão relacionados pela expressão
\[p=\frac{200}{v}\]

Determine a taxa de variação de $p$ em relação a $v$ para um volume:

1. de $10\,{{m}^{3}}$;
2. ${{v}_{0}}$ qualquer.

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Um balão esférico está a ser insuflado.

Determine a taxa de variação da área $S$ da superfície do balão em relação ao raio $r$:

1. para $r=1$;
2. para $r=5$.

Nota: A área da superfície esférica é dada por $A=4\pi {{r}^{2}}$.

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Um atleta percorre uma pista de 100 metros de modo a que a distância d(t), em metros, percorrida após t segundos, é dada por:
\[d(t)=0,2{{t}^{2}}+8t\]

Determine o valor da velocidade do atleta:

1. no início da corrida;
2. quando $t=10$ s;
3. ao chegar à meta.

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Um projétil é lançado do solo, verticalmente, com uma velocidade inicial de 115 m/s. Após $t$ segundos a sua distância $d$ ao solo é dada por:
\[d(t)=115t-5{{t}^{2}}\]

1. Determine o valor da velocidade nos instantes $t=2$ e $t=3$.
2. Quando é que o projétil atinge o solo?
   Determine o valor da sua velocidade nesse instante.

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