A Casinha da Matemática

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Considere os números complexos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{z = x + yi\,\,{\text{de afixo M}}}&;&{{z_1} = x – 4 + i\left( {y + 5} \right)}&{\text{e}}&{{z_2} = x + 4 + i\left( {1 – y} \right)}
\end{array}$$

1. Para que valores de $x$ e $y$ se tem ${z_1} = 3{z_2}$?
2. Determine e represente no plano complexo o conjunto $C_1$ dos pontos M tais que ${z_1} + {z_2}$ seja um imaginário puro.
3. Determine e represente no plano complexo o conjunto $C_2$ dos pontos

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No séc. XVI, ao procurar decompor 10 em dois números cujo produto fosse 40, o Matemático Cardan fez uma primeira abordagem à noção de número complexo, tendo, no entanto, qualificado de “sofisticadas” as raízes quadradas de números negativos e de “subtil e inútil” o resultado a que chegou.

1. a) Verifique que é impossível encontrar dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40.

   b) Encontre os números complexos ${z_1}$ e ${z_2}$ que satisfazem estas

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Considere a função $f$, de $\mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ em $\mathbb{C}$, definida por $$f(z) = \frac{4}{z} + 1 + i$$

1. Resolva a equação $f(z) = 4$.
2. Fazendo $z = x + yi$, $x \in \mathbb{R}$ e $y \in \mathbb{R}$:
   a) Calcule em função de $x$ e de $y$ a parte real $X$ e o coeficiente da parte imaginária $Y$ do número complexo $f(z)$.

   b) Represente no plano complexo o conjunto F dos pontos M afixos de $z$

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Trace no plano de Argand o conjunto dos pontos M, afixos de $z$, tais que:

1. ${z^2}$ tenha por parte real $0$.
2. ${z^2}$ tenha o coeficiente da parte imaginária igual a $2$.
3. ${z^2}$ seja igual a $2i$.

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Considere o número complexo $z = \alpha  + {\alpha ^2}i$.

Represente no plano complexo as imagens de $z$ para $\alpha  = 1$ e depois para $\alpha  =  – 2$, $\alpha  = 0$ e $\alpha  = 3$.

Qual é o conjunto dos pontos imagem de $z$ quando $\alpha $ percorre $\mathbb{R}$?

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