Eratóstenes e a medida da circunferência da Terra
O incrível poder da matemática como uma ferramenta para modelar o nosso mundo
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Eratóstenes
Eratóstenes de Cirene (276 AC, Cirene – 194 AC, Alexandria), um amigo de Arquimedes de Siracusa, viveu em Alexandria. Nasceu em Cirene, um lugar na Líbia, hoje chamado Shahat e que foi uma antiga colónia grega.
Trabalhou em geometria e números primos. Foi diretor da grande Biblioteca de Alexandria. Ele é mais conhecido pelo seu crivo de números primos (Crivo de Eratóstenes) que, de forma modificada, ainda é uma ferramenta importante na investigação da teoria dos números. Eratóstenes mediu a inclinação do eixo da Terra com grande precisão e compilou um catálogo de 675 estrelas (hoje perdido); sugeriu que um dia bissexto fosse adicionado a cada quatro anos e tentou reconstruir o calendário. Cegou na velhice e é dito ter cometido suicídio por inanição, como Demócrito.
Eratóstenes veio de Atenas para Alexandria a fim de ser o bibliotecário-chefe de Ptolemeu III Evérgeta. Eratóstenes não foi apenas um astrónomo e geógrafo, mas também um poeta e gramático. De brincadeira, os seus contemporâneos chamaram-no Beta o Segundo, porque, ao longo da universalidade das suas realizações, ele disse ser “um segundo Platão” na filosofia, “um segundo Tales” em astronomia, e assim por diante em toda a lista. Pela mesma razão, foi chamado de Pentatlos o que significa atleta em cinco disciplinas.
O que sabemos de Eratóstenes é por Estrabão e Cleomedes, que sobre ele escreveram 150-200 anos depois.
Sobre a medida da circunferência da Terra
A antiga cidade de Siena (hoje conhecida como Assuão) está localizada a sul de Alexandria, a uma distância de 5.000 estádios gregos.
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Em Siena existe um poço muito profundo. Todos os anos, ao meio-dia, no dia do solstício de verão (21 de junho), a luz do Sol ilumina a água no fundo deste poço. Naquele momento, o Sol está diretamente em cima e não há sombras na cidade de Siena.
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| Poço de Eratóstenes, em Siena | |
Eratóstenes inventou, provavelmente por volta de 205 AC, um belo método para medir a circunferência da Terra. Publicou os detalhes do seu método no trabalho Sobre a medição da Terra que, infelizmente, se perdeu. O que sabemos sobre o seu método é proporcionado indiretamente por outros autores, principalmente Cleomedes e Teon de Esmirna.
Eratóstenes observou que, no solstício de verão, o Sol não produzia sombra em Siena, mas ele sabia que a produzia em Alexandria, a norte de Siena, correspondendo a um ângulo \(\alpha = 7^\circ \;12’\) (ou \(\alpha = 7,2^\circ \)).
Eratóstenes obteve o ângulo \(\alpha \) a partir do comprimento de uma sombra produzida pelo Sol, ao meio-dia, no solstício de verão, em Alexandria, utilizando um objeto, de altura conhecida, perpendicular ao solo, tal como um obelisco ou um gnómon.
Concluiu que a alteração do ângulo da sombra era causado pela forma esférica da Terra (Aristóteles e outros já tinham este conhecimento) e que seria possível obter a medida da circunferência da Terra a partir deste ângulo.
Tarefa
Considerando a Terra esférica, que Alexandria se encontra exatamente a norte de Siena e que os raios de luz do Sol que atingem a Terra são paralelos, investigue na animação seguinte o método que Eratóstenes terá usado para determinar a medida da sua circunferência e valide-o matematicamente.
Calcule o valor a que Eratóstenes terá chegado para medida da circunferência da Terra, tendo em conta os dados indicados acima.
Arraste o ponto S (Siena).
Em caso de necessidade, atente à explicação de Carl Sagan sobre a experiência de Eratóstenes na medição da circunferência da Terra.
Uma explicação de Carl Sagan
Trata-se de um trecho do primeiro episódio da série de TV chamada Cosmos: Uma Viagem Pessoal, que é dividida em 13 partes, escrita por Carl Sagan, Ann Druyan e Steven Soter, com Sagan como apresentador e que foi transmitida nos anos 80 e 90.
Neste trecho Carl Sagan explica a experiência de Eratóstenes na medição da circunferência da Terra.
Solução
Eratóstenes usa as seguintes seis principais premissas como hipóteses para a sua famosa aproximação da medida da circunferência da Terra:
- As cidades Alexandria e Siena estão no mesmo meridiano;
- A cidade de Siena está sobre o Trópico de Câncer (não há sombra de objetos verticais);
- Os raios de luz do Sol que atingem a Terra são paralelos;
- A distância entre Alexandria e Siena é de 5.000 estádios;
- A amplitude do ângulo associado à sombra verificada em Alexandria é \(7,2^\circ \), ou seja, \(\frac{1}{{50}}\) da amplitude de uma circunferência;
- A Terra é esférica.
Seja $c$ o comprimento do arco AS e $P$ o comprimento da circunferência da Terra.
Como o comprimento do arco AS é diretamente proporcional à amplitude do ângulo \(\beta \), temos:\[\frac{c}{P} = \frac{{\widehat \beta }}{{360^\circ }}\]
De acordo com os pressupostos de Eratóstenes, os ângulos \(\alpha \) e \(\beta \) são alternos internos.
Consequentemente, os ângulos \(\alpha \) e \(\beta \) são congruentes. Logo, \(\widehat \beta = \widehat \alpha = \frac{{360^\circ }}{{50}}\).
Substituindo os valores conhecidos na proporção estabelecida acima, vem:\[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5000}}{P} = \frac{{\frac{{360^\circ }}{{50}}}}{{360^\circ }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{5000}}{P} = \frac{1}{{50}}}& \Leftrightarrow &{P = 250000}\end{array}\]
Portanto, Eratóstenes terá obtido 250.000 estádios para medida da circunferência da Terra.
O método concebido por Eratóstenes é a base do método complexo que ainda hoje é usado para medir a Terra. O seu elegante argumento geométrico, ilustrado acima, é sólido e simples. A sua aproximação não seria ultrapassada nos séculos vindouros.
Isto é Matemática: O Raio da Terra
“O Raio da Terra”
Para além de erradamente parecer insultar a Terra, neste episódio o matemático Rogério Martins irá medir o perímetro do nosso planeta usando dois paus, um fio de prumo e uma bicicleta BTT.
E Isto é Matemática.
A Façanha de Eratósteles
DOWN TO EARTH: Mapping for Everybody, By DAVID GREENHOOD With Illustrations by Ralph Graeter, New York: Holiday House, 1951
Algumas Observações
O conhecimento de Eratóstenes sobre distâncias foi fundado no trabalho de muitas gerações no levantamento topográfico em viagens no Egito. Os escrivas faraónicos davam uma distância entre Siena e Alexandria de 5.000 estádios. Esta distância foi corroborada questionando sobre o tempo que levava a viagem de camelo de Siena para Alexandria. Eratóstenes terá arredondado o resultado para um valor final de 700 estádios por grau, o que implica uma circunferência de 252 mil estádios. Alguns afirmam que Eratóstenes usou o estádio egípcio de 157,5 metros, o que implicaria uma circunferência de 39.690 km, apresentando um erro de 1,6%, mas o estádio Ático de 185 metros é o valor mais comumente aceite para o comprimento do estádio utilizado por Eratóstenes nas suas medições da Terra, que implicam uma circunferência de 46.620 km, apresentando um erro de 16,3%.
Sem prejuízo do seu grande feito, é improvável, contudo, que Eratóstenes tenha obtido uma medição precisa (nos padrões atuais) da circunferência da Terra, face aos erros nos pressupostos que fez:
- As cidades Alexandria e Siena não estão no mesmo meridiano;
- A cidade de Siena não está sobre o Trópico de Câncer (está situada 55 km mais a norte);
- A Terra não é esférica;
- Os raios de luz do Sol que atingem a Terra não são paralelos;
- A distância entre Alexandria e Siena não é de 5.000 estádios.
Conclusão
As especificidades de medição de Eratóstenes podem iludir-nos, simplesmente porque Eratóstenes não tinha especificidades em mente quando realizou esse cálculo.
A aproximação da circunferência da Terra de Eratóstenes é um belo argumento matemático, independentemente da precisão do seu resultado. O moderno comprimento equivalente ao estádio usado por Eratóstenes pode nunca ser conhecido, assim como a razão para a adição de 2.000 estádios pode nunca ser descoberta. No entanto, Eratóstenes ajudou a lançar as bases para a ciência com base na matemática e na observação empírica, em vez de mera especulação filosófica. Mais importante ainda, ele demonstrou o incrível poder da matemática como uma ferramenta para modelar o nosso mundo.
Fontes:
- Hellenic World encyclopaedia – Eratosthenes of Cyrene
- School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland: Eratosthenes of Cyrene
- New World Encyclopedia – Eratosthenes
- Dodwell: The Obliquity of the Ecliptic – Ancient Greek Observations
- Wikipédia – Eratosthenes
- Mathematical Association of America – Eratosthenes and the Mystery of the Stades – How Long Is a Stade?
- Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, Vol. 16, p.152, Irene Fisher – Another Look at Eratosthenes’and Posidonius’ Determinations of the Earth’s Circumference
- DOWN TO EARTH: Mapping for Everybody, By DAVID GREENHOOD With Illustrations by Ralph Graeter
- Encyclopædia Britannica – Eratosthenes of Cyrene * Greek scientist
