A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: probabilidade

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Lança-se um dado equilibrado

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

  1. Considere os acontecimentos A e B.
    A: «sair face par»
    B: «sair um número menor do que 4»

    Indique o valor da probabilidade condicionada $P(B|A)$.
    Justifique a sua resposta.

  2. Considere agora que o dado é lançado três vezes.

    Qual é a probabilidade de a face 6 sair, pela primeira vez, precisamente no terceiro lançamento?
    Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondada às décimas.

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Prove que

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos possíveis ($A\subset S$ e $B\subset S$).

Sabe-se que:

  • $P(A\cap B)=0,1$
  • $P(A\cup B)=0,8$
  • $P(A|B)=0,25$

Prove que $A$ e $\overline{A}$ são acontecimentos equiprováveis.

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Ida à padaria

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

Um dos membros do casal Silva (ou o Manuel ou a Adelaide) vai todos os dias de manhã comprar pão à padaria da rua onde moram, mal ela abre.

Em 40% dos dias, é o Manuel Silva que vai comprar o pão. Nos restantes dias, é a Adelaide Silva que se encarrega dessa tarefa.

Sabe-se também que, nas vezes em que a Adelaide vai à padaria, ela compra apenas pão de trigo (o que acontece 20% dessas … Ler mais

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Das raparigas que moram em Vale do Rei

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

  1. Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória.
    Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset S$ e $B\subset S$).

    Prove que: $P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})-P(B)+P(A|B)\times P(B)$.

  2. Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que:
    – a quarta parte tem olhos verdes;
    – a terça parte tem cabelo louro;
    – das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes.

    Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, qual é a probabilidade de ela não ser

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Duas caixas com bolas

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Enunciado

Considere duas caixas: caixa A e caixa B.

  • A caixa A contém duas bolas verdes e cinco azuis.
  • A caixa B contém seis bolas verdes e uma azul.

Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

  • Se sair face 1, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A.
  • Caso contrário, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa B.

Considere os acontecimentos:

  • X: Sair face par no lançamento do dado
  • y: Sair bola verde
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Uma turma do 12.º ano

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Uma turma de 12.º ano é constituída por raparigas, umas de 16 anos e as restantes de 17 anos, e por rapazes, uns de 17 anos e os restantes de 18 anos.

Os alunos dessa turma estão numerados consecutivamente, a partir do número 1.

Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa turma e regista-se o número, a idade e o sexo desse aluno.

Em cada uma das opções seguintes estão indicados dois acontecimentos, X e Y, associados a … Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Calcule

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A, B e C três acontecimentos ($A\subset \Omega $, $B\subset \Omega $ e $C\subset \Omega $) tais que $(A\cup B)\cap C=\left\{ {} \right\}$.

Sabe-se que $P(A)=0,21$ e que $P(C)=0,47$.

Calcule $P(A\cup C)$, utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Determine o valor de

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset \Omega $ e $B\subset \Omega $).

Sabe-se que A e B são acontecimentos independentes, que $P(B)=\frac{2}{3}$ e $P(A\cap B)=\frac{1}{2}$.

Determine o valor de $P(A\cup B)$. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Mostre que é falsa a afirmação

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Seja S um espaço de resultados, finito, associado a uma experiência aleatória.

Mostre que é falsa a seguinte afirmação:

«Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B, ($A\subset S$ e $B\subset S$), se $P(A)+P(B)=1$, então $A\cup B$ é um acontecimento certo.»

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Ficha de Trabalho

12.º Ano: Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com exercícios e problemas relativos a Probabilidade condicionada e Acontecimentos independentes. A Ficha de Trabalho contém soluções. É também apresentada uma Proposta de Resolução.
Bom Trabalho!

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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

Ficha de Trabalho

12.º Ano: Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com exercícios e problemas relativos a Definição axiomática e Propriedades das probabilidades. A Ficha de Trabalho contém soluções. É também apresentada uma Proposta de Resolução.
Bom Trabalho!

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

A probabilidade de amanhã chover

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 172 Ex. 31

Enunciado

Segundo um especialista em meteorologia, a probabilidade de amanhã chover é três vezes maior do que a de estar enevoado e esta é dupla da de estar sol.

Supondo que existem apenas estas possibilidades, qual é, então, a probabilidade de amanhã chover?

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Infetado por um vírus

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 171 Ex. 30

Enunciado

Sabe-se, por inquéritos médicos, que um indivíduo pertencente a uma determinada população tem probabilidade 0,01 de ser infetado por um vírus R e probabilidade 0,05 de ser contaminado pelo vírus S.

Sabendo que estas contaminações são independentes, quantos indivíduos contaminados encontramos (aproximadamente) por um, pelo menos, destes vírus, se escolhermos ao acaso uma amostra de 10.000 indivíduos desta população?

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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

Numa escola secundária

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 171 Ex. 29

Enunciado

Numa Escola Secundária fez-se um estudo sobe o número de alunos do 12.º ano que se matricularam nas disciplinas de Física e de Química, tendo-se concluído que:

  • 30% dos alunos matricularam-se em ambas;
  • 20% dos alunos matricularam-se apenas em Física;
  • 40% dos alunos matricularam-se apenas em Química.
  1. Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação.
  2. Considere os acontecimentos F: “Matricular-se em Física” e Q: “Matricular-se em Química”.
    Determine a probabilidade de um desses alunos submetido ao
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