A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Qual é o período positivo mínimo?

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 32 Ex. 7

Enunciado Qual é o período positivo mínimo de cada uma das funções?

  1. $f:x \to \operatorname{tg} \left( {3x} \right)$
  2. $g:x \to \operatorname{tg} \left( {\frac{x}{4}} \right)$
  3. $h:x \to 2 + 3\operatorname{tg} \left( {\frac{x}{{10}}} \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Construa o gráfico da função

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 31 Ex. 5

Enunciado

  1. Construa o gráfico da função definida por $$f(x) = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)$$ e identifique outra função trigonométrica com esse gráfico.
  2. Comente a afirmação: “O gráfico da função $y =  – \cos x$ tem a mesma forma que o da função $y = \operatorname{sen} x$, mas está deslocado ${\frac{\pi }{2}}$ para a direita”.

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Mostre que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 29 Ex. 4

Enunciado

Mostre que:

  1. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $g:x \to \cos \left( {\alpha x} \right)$
  2. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $h:x \to \cos \left( {\alpha x} \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x} \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Três funções trigonométricas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 28 Ex. 3

Enunciado

Considere, definidas em $\left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, as funções:

$$x \to f(x) = \cos x$$

$$x \to g(x) = 3\cos x$$

$$x \to h(x) = \cos 3x$$

  1. Represente-as graficamente no mesmo referencial e pronuncie-se acerca do período, da paridade e do contradomínio de cada uma delas.
  2. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção de $f$ com $h$.
  3. Resolva graficamente:a) $f(x) \geqslant h(x)$

    b) $\frac{{f(x)}}{{h(x)}} \geqslant 0$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
  • o período positivo mínimo.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Funções do tipo $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x – \phi } \right)$

Exploração da representação gráfica pela influência da variação de parâmetros na função $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x - \phi } \right)$
  • Qual será o efeito do parâmetro $A$?
  • Qual será o efeito do parâmero $B$?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\omega $?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\phi $?
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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?

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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln \left( {1 + 0,01n} \right)$$
  2. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
  3. Justifique que, apesar
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a $x$ metros à direita do primeiro poste.

  1. Determine a diferença de alturas dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas.
  2. Recorrendo ao estudo da
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de $t$ para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.
    Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} \right)}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. B:}}}&{B(t) = \frac{{50}}{{1 + 8{e^{ – 0,5t}}}}}
\end{array}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$$

  1. Determine o número de plantas de cada espécie utilizadas no início do processo.
  2. Verifique,
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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
    Calcule para que idade é máxima a capacidade pulmonar e qual é o valor dessa capacidade pulmonar. Apresente os resultados nas unidades consideradas, com aproximação às décimas.

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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em ºC) de arrefecimento de um corpo varia com o tempo $t$ (em minutos), decorridos após ser retirado da fonte de calor, de acordo com uma lei do tipo $$A(t) = … Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função do tipo $$P(t) = \frac{a}{{1 + b{e^{ – t}}}}$$ com $t$ expresso em anos.

  1. Mostre, analiticamente, que $a \approx 509$ e $b \approx 0,6$, para o caso da população de
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