A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: 12.º Ano

0

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} \right)}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. B:}}}&{B(t) = \frac{{50}}{{1 + 8{e^{ – 0,5t}}}}}
\end{array}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$$

  1. Determine o número de plantas de cada espécie utilizadas no início do processo.
  2. Verifique,
… Ler mais
0

12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
    Calcule para que idade é máxima a capacidade pulmonar e qual é o valor dessa capacidade pulmonar. Apresente os resultados nas unidades consideradas, com aproximação às décimas.

Resolução >> Resolução… Ler mais

0

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em ºC) de arrefecimento de um corpo varia com o tempo $t$ (em minutos), decorridos após ser retirado da fonte de calor, de acordo com uma lei do tipo $$A(t) = … Ler mais

0

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função do tipo $$P(t) = \frac{a}{{1 + b{e^{ – t}}}}$$ com $t$ expresso em anos.

  1. Mostre, analiticamente, que $a \approx 509$ e $b \approx 0,6$, para o caso da população de
… Ler mais
0

12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
    a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;
    b) $f(1)<f(5)$.
  2. Sabendo que $f(2)=3$, escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa 2.
  3. Como varia o sinal da segunda
… Ler mais
0

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 e 1, são horizontais.

  1. Determine o contradomínio de $f$.
  2. Calcule o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$.
    Escreva uma equação da assíntota oblíqua.
  3. Indique, justificando, quais
… Ler mais
0

12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que nos é dada pela função assim definida: $$s(d) = 8,5 \times {10^{ – 7}}{d^2}\left( {255 – d} \right)$$

  1. Entre que valores pode variar $d$?
  2. Recorrendo à calculadora, determine a que
… Ler mais
0

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Inscreve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

Resolução >> Resolução

<< Enunciado… Ler mais
0

Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Um trapézio isósceles

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79

Enunciado

[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.

Os ângulos agudos medem 45º.

Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).

  1. Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
  2. Exprima $\overline {AD} $ e $\overline {BC} $ em função de $x$.
  3. Utilize a área do trapézio para exprimir $\overline {AB} $ em função de $x$.
  4. Mostre que $$P(x) = 2\sqrt 2 x + \frac{{10\sqrt
… Ler mais
0

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Dimensões de um triângulo de área máxima

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75

Enunciado

Considere a parábola definida por $y =  – {x^2} + 9$.

Supondo que a unidade adotada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.

Resolução >> Resolução

<< Enunciado… Ler mais
0

Aplicando / 12.º Ano

Uma trave de madeira

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73

Enunciado

Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.

Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?

Resolução >> Resolução

Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, temos: $y = \sqrt {25 – {x^2}} $.

Logo, a área do terreno pode ser expressa por $$A(x) = \frac{{x\sqrt {25 – {x^2}} }}{2},{\text{com }}0 < x < 5$$

Ora, … Ler mais

0

12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Considere a função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 177 Ex. 108

Enunciado

Considere a função real de variável real $$f:x \to \ln \left( {{e^x} – 1} \right)$$

  1. Determine o domínio e zeros de $f$.
  2. Determine as equações das assíntotas ao gráfico de $f$.
  3. Estude a monotonia da função.
  4. Esboce o gráfico de $f$.
  5. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $\ln 2$.
  6. A partir do gráfico obtido, construa os gráficos de $f( – x)$, $\left| {f(x)} \right|$, $2\,f(x)$ e $f(x – 2)$.
… Ler mais
0

12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Determine uma equação da reta tangente ao gráfico

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 89

Enunciado

  1. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = {x^3} + \ln \left( {2x – 3} \right)$ no ponto $T\left( {2,8} \right)$.
  2. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x + \ln x$, perpendicular à reta de equação $x + 3y + 1 = 0$.

Resolução >> Resolução

<< Enunciado… Ler mais