A Casinha da Matemática

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Na figura ao lado estão representados:

• uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
• um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
2. mostre que a área do triângulo [BCD] em função de $\alpha $ é $A(\alpha )=sen\,\alpha \times (1+\cos \alpha )$;
3. determine o valor da área do triângulo quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$.

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Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

• ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
• ponto B pertence ao plano xOz;
• ponto C pertence ao plano xOy;
• $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta BC.

1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto C tem coordenadas $(4,2,0)$.
2. Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo em C.
3. Considere a superfície esférica de centro A, cuja intersecção com o plano xOy é

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Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

• o vértice O coincide com a origem do referencial;
• o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
• o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
• o segmento [QR] tem comprimento 6.

1. Indique, justificando, o valor do produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$.
2. Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano PQS com o plano de equação $x+y+z=5$.
3. Sabendo que a área lateral do prisma

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Comente a afirmação:

“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4x+5y+2z=2  \\
\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}  \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”

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Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

1. Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
2. Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e de B.
3. Calcule a área do triângulo [ADG].
4. Escreva uma condição que defina o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tal que $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$ e caracterize-o.
5. Indique dois pontos da recta HB

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Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.

1. Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
2. Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer reta normal ao plano dado.
   (Aproxime o resultado à décima do grau.)

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No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].

• $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
• $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$

1. Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
2. Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vetor dado que passa pelo ponto A.
3. Determine, com aproximação às centésimas, a amplitude do ângulo que o vetor $\overrightarrow{OE}$ forma com o eixo Ox.

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Considere Oxyz um referencial ortonormado.

A pirâmide quadrangular regular está assente sobre um plano paralelo a xOy, tem o vértice no eixo Oz e os planos xOz e yOz são planos mediadores das arestas da base (como ilustra a figura).

Conhecem-se ainda $A\,(1,1,3)$ e a altura da pirâmide, que é 5 unidades.

1. Caracterize, por uma condição, o plano em que a base da pirâmide está assente.
2. Identifique, pelas suas coordenadas, os outros vértices da pirâmide.
3. Calcule a

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Num referencial ortonormado do espaço, considere o cubo [ABCDEFGH] com 6 unidades de aresta.

A face [ABFE] é paralela ao plano zOy, a face [ABCD] é paralela ao plano xOy e $F\,(2,1,4)$.

1. Mostre que o triângulo [BED] é equilátero.
2. Determine uma equação cartesiana do plano que o contém.

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Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o.n. do espaço.

A figura representa um cubo [ABCDEFGH] de centro O e aresta 2 cm, sendo as arestas [AD] e [DC] paralelas a Ox e Oy, respetivamente.

Os pontos I, J, K, L, M, N, P e Q são pontos médios das arestas.

1. Determine as coordenadas dos pontos anteriormente referidos.
2. Indique as coordenadas dos pontos simétricos de K, G e E em relação a J.
3. Defina, por uma condição, o plano da

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No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ está representado o cubo [ABCDEFGH].

$BF\parallel OZ$ e as coordenadas dos vértices opostos B e H são, respetivamente, $(0,-3,3)$ e $(4,1,-1)$.

1. Quais são as coordenadas dos outros vértices do cubo?
2. Escreva uma equação da reta DG.
3. Determine uma equação da reta que passa por H e é paralela a GB.
4. Escreva uma equação do plano que contém a face [ABCD].
5. Considere o lugar geométrico definido pelo cubo e escreva uma condição que o

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[ABCDEFGH] é um cubo.

Os pontos A, E, F e H têm por coordenadas, respetivamente, $(1,1,3)$, $(1,1,1)$, $(1,3,1)$ e $(-1,1,1)$.

1. Calcule as coordenadas dos restantes vértices.
2. Escreva uma equação do plano AEC.
3. Escreva equações cartesianas das retas BF e EC.

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Considere no referencial o.n. do espaço (Oxyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [ABCO], assente no plano xOy.

Sabendo que a pirâmide tem 5 unidades de altura e que C (0,4,0):

1. determine $\alpha $ de modo que $(3\alpha ,\alpha +2,1-\alpha )$ pertença ao plano VBC;
2. determine o ângulo das retas VB e VC;
3. supondo que a unidade considerada é o centímetro, determine a área total da pirâmide.

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