A Casinha da Matemática Blog
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 5
Enunciado
Defina, sem usar o símbolo de módulo, e represente graficamente, cada uma das seguintes funções:
- $f(x) = \left| {x – 1} \right| + 2$
- $g(x) = – \left| {3{x^2} – 2x – 1} \right|$
- $h(x) = – \left| {x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \right|$
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5
Enunciado
Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.
A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]
- Represente graficamente a função $d$ na situação descrita.
- Determine a velocidade média da bola no 1.º segundo de movimento.
- Determine a velocidade da bola no instante $t = 2$ s.
- Determine
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1
Enunciado
Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.
Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.
- Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
- Represente graficamente a função da alínea anterior.
- Entre que valores varia a função?
- Qual a quantidade de ácido puro que devemos adicionar para produzir uma solução $75$% ácida?
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12
Enunciado
Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]
Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:
- $f\left( x \right) > 0$
- $f\left( {x – 2} \right) > 0$
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 10
Enunciado
Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
- Que transformações geométricas se devem efetuar a partir do gráfico de $g$ para se obter o gráfico da função \[f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{2x – 3}}\] de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$, representada graficamente ao lado.
- Quais as assíntotas do gráfico da função $f$?
- Determina o contradomínio de $f$.
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 9
Enunciado
- Represente graficamente, no mesmo referencial, as seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{r}}
{f\left( x \right) = x + 1}&{\text{;}}&{g\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right)}&{\text{e}}&{h\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}}
\end{array}\]
- Determine o domínio de cada uma das funções anteriores.
- Compare os três gráficos.
Quais os pontos dos gráficos de $g$ e de $h$ que se mantêm invariantes relativamente ao gráfico de $f$?
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 8
Enunciado
Determine as assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}}}
\end{array}\]
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 6
Enunciado
Uma empresa de alumínio pretende fabricar uma peça de forma cilíndrica, com capacidade de $500$ cm3.
As tampas superior e inferior são feitas de alumínio especial que custa $5$ cêntimos por centímetro quadrado.
A superfície lateral é feita de material mais barato, que custa $2$ cêntimos por centímetro quadrado.
- Exprima o custo $C$ da peça em função do raio $r$ da base.
- Faça uma representação gráfica da função $C$.
- Qual é o de $r$ para
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5
Enunciado
Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]
- Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
- A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
| \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\] |
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right)\] |
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h\left( x \right)\] |
- Tendo em consideração os resultados obtidos anteriormente, esboce o gráfico
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4
Enunciado
Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.
Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.
A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + 0,02t}}\]
- Qual era a população quando $t = 0$?
- Qual será a população de insetos 10 anos depois de terem sido colocados na área protegida?
- Quando é que a população
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 3
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:
- $\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0$
- $\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0$
- $\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{x + 2}} < 0$
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 12
Enunciado
Determine, graficamente, as abcissas (com aproximação às milésimas) dos pontos de interseção dos gráficos das funções seguintes: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4x – 2}}{{{x^2} – 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 2x + 1}}{{2{x^3} + 3{x^2} – 7x + 1}}}
\end{array}\]
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Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 11
Enunciado
Prove que a função definida por $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ não é monótona no seu domínio.
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![Observa o triângulo [ABC], retângulo em A](https://www.acasinhadamatematica.pt/wp-content/uploads/2018/03/9V2Pag056-5a-720x340.png)
