A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: 11.º Ano

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Considere a função $h$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]

  1. Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
  2. A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } h\left( x \right)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h\left( x \right)\]
  3. Tendo em consideração os resultados obtidos anteriormente, esboce o gráfico
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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Uma espécie rara de insetos

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4

Enunciado

Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.

Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.

A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + 0,02t}}\]

  1. Qual era a população quando $t = 0$?
  2. Qual será a população de insetos 10 anos depois de terem sido colocados na área protegida?
  3. Quando é que a população
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11.º Ano / Funções racionais / Aplicando

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 3

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. $\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0$
  2. $\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0$
  3. $\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{x + 2}} < 0$

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Determine graficamente

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 12

Enunciado

Determine, graficamente, as abcissas (com aproximação às milésimas) dos pontos de interseção dos gráficos das funções seguintes: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4x – 2}}{{{x^2} – 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 2x + 1}}{{2{x^3} + 3{x^2} – 7x + 1}}}
\end{array}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Considere a função $g$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 10

Enunciado

Considere a função $g$, definida por: \[g\left( x \right) = 5 + \frac{2}{{x – 3}}\]

  1. Esboce o gráfico de $g$.
  2. Indique como se obtém, por meio de uma série de transformações geométricas, o gráfico da função $g$, a partir do gráfico da função $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$.
  3. Resolva graficamente a inequação $g\left( x \right) > 1$.

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Funções racionais / Aplicando / 11.º Ano

Um ponto $B$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 9

Enunciado

Seja $B$ o ponto de coordenadas $\left( {1,2} \right)$.
A cada ponto $C\left( {x,0} \right)$ do eixo $Ox$, com $x > 1$, faça corresponder um ponto $D\left( {0,y} \right)$ do eixo $Oy$, de modo que $B$, $C$ e $D$ sejam colineares.

  1. Exprima $y$ em função de $x$.
  2. Mostre que a área $A\left( x \right)$ do triângulo $\left[ {ODC} \right]$ é dada por: \[A\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x – 1}},\,x > 1\]
  3. Represente o gráfico de $A$ e
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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 6

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. \[\frac{{3x + 2}}{{x + 3}} >  – \frac{2}{3}\]
  2. \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} > 0\]
  3. \[\frac{{a – 2}}{a} < \frac{{a – 4}}{{a – 6}}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Uma plataforma petrolífera

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 5

Enunciado

Para construir uma plataforma petrolífera, o custo aproximado por tonelada é dado, em euros, para $x$ mil toneladas, por:

\[C\left( x \right) = \frac{{312000,5}}{{x + 625}}\]

  1. Qual é o custo por tonelada para $30$ mil toneladas?
  2. Quantas mil toneladas tem a plataforma, se o custo por tonelada foi de $483$ euros?

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11.º Ano / Funções racionais / Aplicando

Número de horas de estudo

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 4

Enunciado

A função \[E\left( x \right) = \frac{{0,32x}}{{100,5 – x}}\] permite determinar o número de horas de estudo, $E\left( x \right)$, necessárias para obter num teste um resultado $x$, entre $0$ e $100$ (em percentagem).

  1. Quantas horas de estudo são necessárias para se obter $85$ (em percentagem)?
    Apresente o resultado em horas e minutos, com aproximação ao minuto.
  2. Qual o resultado (com aproximação às décimas) que se obtém se se estudar $8$ horas?
  3. Quantas horas de estudo são
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Funções racionais / Aplicando / 11.º Ano

Considere as funções ${y_1}$ e ${y_2}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções \[\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = \frac{{2x – 5}}{{x – 3}}}&{\text{e}}&{{y_2} = \frac{{x + 7}}{{3x + 2}}}
\end{array}\]

  1. Escreva as expressões analíticas de ${y_1}$ e ${y_2}$ na forma \[y = a + \frac{b}{{cx + d}}\]
  2. Represente graficamente as funções.
  3. Relacione o parâmetro $a$ com as equações das assíntotas do gráfico da função.

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