A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: Geometria

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Teorema de Pitágoras / Aplicando / 8.º Ano

Objetos em caixas

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 56 Tarefa 8 Ex. 1

Enunciado

Observa a figura onde está representada uma caixa transparente, com a forma de um paralelepípedo retângulo, contendo uma caneta.

  1. Usando letras da figura, indica:
     – Duas retas paralelas;
     – Duas retas concorrentes não perpendiculares;
     – Duas retas perpendiculares.
  2. Calcula, arredondado às décimas, o comprimento da sombra que a caneta projeta no fundo da caixa.
  3. A Marta pretende substituir a caneta por outra que mede 10 cm. Será que esta cabe na caixa?

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Aplicando / 8.º Ano / Teorema de Pitágoras

A janela

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 55 Tarefa 7

Enunciado

Na figura ao lado, está a fotografia de uma janela. No gradeamento exterior, podem observar-se diferentes polígonos, entre os quais vários retângulos e dois quadrados com o mesmo centro (os vértices do quadrado mais pequeno são os pontos médios das semidiagonais do quadrado maior).

Observa o seguinte esquema do gradeamento da janela.

Se o ferro para construir este tipo de gradeamento se vender em barras de 3 metros de comprimento, qual é o número mínimo de barras … Ler mais

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Aplicando / 8.º Ano / Teorema de Pitágoras

Uma demonstração do Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 52 Tarefa 5

Enunciado

Considera o triângulo [ABC] retângulo em C , onde \(a = \overline {BC} \), \(b = \overline {AC} \) e \(c = \overline {AB} \).

Sejam [CD] a altura do triângulo relativa à hipotenusa, \(x = \overline {AD} \) e \(y = \overline {DB} \).

  1. Justifica que \({b^2} = xc\).
  2. Justifica que \({a^2} = yc\).
  3. Observando a figura e tendo em consideração as alíneas 1. e 2., mostra que \[{a^2} + {b^2} = {c^2}\]

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Teorema de Pitágoras / Aplicando / 8.º Ano

Em busca do Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 51 Tarefa 4

Enunciado

Observa as figuras compostas por triângulos retângulos e pelos quadrados construídos sobre a hipotenusa e sobre cada um dos catetos.

  1. Completa a tabela seguinte.

    Figura Área do quadrado assente sobre um dos catetos Área do quadrado assente sobre o outro cateto Área do quadrado assente sobre a hipotenusa
    A      
    B      
    C      
  2. Qual é a relação entre as áreas dos quadrados de cada uma das figuras?

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Aplicando / 8.º Ano / Teorema de Pitágoras

Dois insetos

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 50 Ex. 2

Enunciado

Um inseto parte do ponto M e percorre os segmentos [MA] e [AC], parando no ponto C.

Um outro inseto parte do ponto C e percorre os segmentos [CB] e [BM], parando no ponto M.

  1. Prova que os triângulos [AMC] e [CMB] são semelhantes.
  2. Determina:
    – a distância que separa os dois insetos;
    – a distância percorrida pelo primeiro inseto.

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Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço / Aplicando / 10.º Ano

Considere o cubo com $4$ cm de aresta representado na figura

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 3
Enunciado

Consideremos o cubo com $4$ cm de aresta representado na figura.

Sabendo que I e J são pontos médios das arestas a que pertencem:

  1. reproduza o cubo e construa a secção nele produzida pelo plano IDJ;
  2. prove que a secção obtida na alínea anterior é um losango e represente-a em verdadeira grandeza;
  3. determine os valores exatos do perímetro e da área da secção, apresentando o resultado o mais simplificado possível.

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Aplicando / 10.º Ano / Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço

O mesmo cubo com $4$ cm de aresta

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 2
Enunciado

Considere, ainda, o cubo [ABCDEFGH] do exercício anterior e o plano IJK paralelo a AD.

  1. Determine as dimensões da secção [IJKL], supondo que I e J são pontos médios das arestas [EF] e [AE].
  2. Sendo $\overline {EJ}  = \overline {EI} $, determine $\overline {EJ} $ de modo que a secção [IJKL] seja um quadrado.

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Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço / Aplicando / 10.º Ano

Um cubo com $4$ cm de aresta

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 1
Enunciado

Consideremos o cubo [ABCDEFGH], com $4$ cm de aresta e o plano IJK, sendo J e K pontos médios das arestas [AE] e [DH], respetivamente, e I um ponto de [EF], tal que $\overline {EI}  = 3$ cm.

  1. Qual a posição do plano IJK em relação à reta da aresta [AD]? Porquê?
  2. Represente em perspetiva sobre o cubo a secção nele produzida pelo plano IJK.
  3. Classifique, justificando, a secção obtida e represente-a em verdadeira grandeza.
  4. Determine o
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Aplicando / 10.º Ano / Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço

Cortes produzidos num tetraedro

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 57 Ex. 3
Enunciado

Seja [BDEG] um tetraedro regular.

Os pontos M, N e Q são pontos médios das arestas a que pertencem.

Desenhe os cortes produzidos no tetraedro pelos planos indicados.

Plano MNG Plano MNQ
Plano que contém a reta MN e é paralelo a DG Plano MNT, sendo $\overline {TG}  = \frac{1}{4}\overline {BG} $
Plano que contém a reta UM e é paralelo a DG Plano MBG
Plano que passa em M e é paralelo a DBG
 

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Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço / Aplicando / 10.º Ano

Considere o cubo

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 56 Ex. 2
Enunciado

Considere o cubo [ABCDEFGH] representado na figura.

  1. Diga se são paralelos ou secantes e defina com precisão a intersecção:

    a) da reta CE com o plano ABF;
    b) da reta BE com o plano ADG;
    c) da reta EH com o plano ADG;
    d) da reta DH com o plano ACG.

  2. Seja I o ponto médio do segmento [BC].

    a) Construa a intersecção da reta EI com o plano ABG.
    b) Construa a intersecção dos planos DEI

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