A Casinha da Matemática Blog
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86
Enunciado
A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.
A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.
- Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;
b) $f(1)<f(5)$.
- Sabendo que $f(2)=3$, escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa 2.
- Como varia o sinal da segunda
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85
Enunciado
Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.
O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.
As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 e 1, são horizontais.
- Determine o contradomínio de $f$.
- Calcule o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$.
Escreva uma equação da assíntota oblíqua.
- Indique, justificando, quais
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83
Enunciado
Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.
Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que nos é dada pela função assim definida: $$s(d) = 8,5 \times {10^{ – 7}}{d^2}\left( {255 – d} \right)$$
- Entre que valores pode variar $d$?
- Recorrendo à calculadora, determine a que
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81
Enunciado
Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.
Inscreve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].
Faça-se $\overline {AM} = x$.
Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79
Enunciado
[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.
Os ângulos agudos medem 45º.
Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).
- Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
- Exprima $\overline {AD} $ e $\overline {BC} $ em função de $x$.
- Utilize a área do trapézio para exprimir $\overline {AB} $ em função de $x$.
- Mostre que $$P(x) = 2\sqrt 2 x + \frac{{10\sqrt
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75
Enunciado
Considere a parábola definida por $y = – {x^2} + 9$.
Supondo que a unidade adotada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73
Enunciado
Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.
Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?
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Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, temos: $y = \sqrt {25 – {x^2}} $.
Logo, a área do terreno pode ser expressa por $$A(x) = \frac{{x\sqrt {25 – {x^2}} }}{2},{\text{com }}0 < x < 5$$
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 177 Ex. 108
Enunciado
Considere a função real de variável real $$f:x \to \ln \left( {{e^x} – 1} \right)$$
- Determine o domínio e zeros de $f$.
- Determine as equações das assíntotas ao gráfico de $f$.
- Estude a monotonia da função.
- Esboce o gráfico de $f$.
- Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $\ln 2$.
- A partir do gráfico obtido, construa os gráficos de $f( – x)$, $\left| {f(x)} \right|$, $2\,f(x)$ e $f(x – 2)$.
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 175 Ex. 107
Enunciado
Estude e represente graficamente a função seno hiperbólico definida em $\mathbb{R}$ por: $$f(x) = {\text{senh}}\,x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}$$
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 89
Enunciado
- Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = {x^3} + \ln \left( {2x – 3} \right)$ no ponto $T\left( {2,8} \right)$.
- Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x + \ln x$, perpendicular à reta de equação $x + 3y + 1 = 0$.
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 88
Enunciado
Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções:
- $f:x \to {e^{ – 4x}}$
- $f:x \to {e^{\sqrt {2 + x} }}$
- $f:x \to {e^x}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)$
- $f:x \to {e^{\frac{1}{x}}} + {e^{ – \frac{1}{x}}}$
- $f:x \to \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}$
- $f:x \to \frac{x}{{{e^x}}}$
- $f:x \to \ln \left( {3x – 5} \right)$
- $f:x \leftarrow x\ln x + {e^3}$
- $f:x \to \ln \left( {\ln x} \right)$
- $f:x \to \frac{{{x^2}}}{{\ln
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 54
Enunciado
$C$ é a curva representativa da função $$f:x \to \frac{1}{{1 + x}}$$
- Determine os pontos de $C$ onde a reta tangente é paralela à reta de equação $y = – x$.
- Existem tangentes à curva $C$ paralelas à reta de equação $y = x$?
- Esboce $C$.
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 53
Enunciado
Considere a curva $C$ de equação $$y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}$$
- Determine as abcissas dos pontos da curva de ordenada 1.
- Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva nos pontos obtidos na alínea anterior.
- Determine as coordenadas do ponto de interseção das duas tangentes.
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 51
Enunciado
Uma esfera metálica M move-se sobre uma reta r durante 12 segundos.
A sua posição em relação ao ponto O, em função do tempo, é dada pela equação $$d(t) = {t^3} – 16{t^2} + 50t + 40$$ com $d$ em centímetros.
Uma posição $-1$ significa que a esfera se encontra 1 centímetro à esquerda de O e $+1$ significa que se encontra 1 centímetro à direita de O.
- No instante inicial, em que posição se encontra a
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