A Casinha da Matemática

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O João e a Maria pretendem determinar a distância da porta A da sua escola à estátua E.

Para isso, espetaram no jardim da escola uma estaca B, a 34 metros de A, e determinaram as amplitudes dos ângulos EAB e ABE, sendo:

• $E\widehat{A}B=26{}^\text{o}$
• $E\widehat{B}A=123{}^\text{o}$

Qual é o valor da distância pretendida?

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Num disco de papel de raio 10 cm, desenhe um sector circular.

Faça um corte segundo o segmento [OA]. Ponha cola na parte colorida e sobreponha de forma a fazer coincidir [OA] com [OB]. Obtém assim um cone sem base.

Designe por α a medida, em radianos, do ângulo do sector circular tracejado $(\alpha \in \left] 0,\ 2\pi  \right[)$, por R o raio da circunferência da base do cone e por h a sua altura.

1. 1. Mostre que

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A figura representa uma vista do corte da parede interior de um recipiente cónico, segundo um plano que contém a altura. O ângulo α está expresso em graus e x em centímetros.

1. Seja V(x) o volume do líquido correspondente à parte colorida, expresso em cm³.
   1. Mostre que V(x) é o volume de um cone de raio da base igual a $x.sen\,\frac{\alpha }{2}$ e de altura igual a $x.\cos \,\frac{\alpha }{2}$.
   2. Deduza uma expressão de V(x)

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Uma chaminé de cozinha tem a forma de um tronco de pirâmide com bases retangulares.

As faces [ADHE] e [ABFE] são perpendiculares às duas bases.

Na figura, as dimensões estão expressas em milímetros.

Calcule:

1. as alturas de [BF] e de [DH] dos trapézios [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao milímetro;
2. a área de cada uma das faces [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao cm²;
3. as medidas dos ângulos α e β, com aproximação à décima