A distância da porta à estátua
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 90 Ex. 28
O João e a Maria pretendem determinar a distância da porta A da sua escola à estátua E.
Para isso, espetaram no jardim da escola uma estaca B, a 34 metros de A, e determinaram as amplitudes dos ângulos EAB e ABE, sendo:
- $E\widehat{A}B=26{}^\text{o}$
- $E\widehat{B}A=123{}^\text{o}$
Qual é o valor da distância pretendida?
Na figura ao lado,
- B’ é a projeção ortogonal do ponto B sobre o segmento de reta [EA];
- $x=\overline{AB’}$;
- $y=\overline{B’E}$;
- $h=\overline{BB’}$;
- $B\widehat{E}A=180{}^\text{o}-(123{}^\text{o}+26{}^\text{o})=31{}^\text{o}$.
Desta forma, obtém-se sucessivamente: \[\begin{matrix}
tg\ 26{}^\text{o}=\frac{h}{x} & \Leftrightarrow & h=x\times tg\ 26{}^\text{o} \\
\end{matrix}\] \[\begin{matrix}
\cos \ 26{}^\text{o}=\frac{x}{34} & \Leftrightarrow & x=34\cos \ 26{}^\text{o} \\
\end{matrix}\] \[\begin{matrix}
tg\ 31{}^\text{o}=\frac{h}{y} & \Leftrightarrow & y=\frac{h}{tg\ 31{}^\text{o}} \\
\end{matrix}\]
Logo, $h=34\cos 26{}^\text{o}\times tg\ 26{}^\text{o}$.
Assim, \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overline{AE} & = & x+y \\
{} & = & 34\cos 26{}^\text{o}+\frac{34\cos 26{}^\text{o}\times tg\ 26{}^\text{o}}{tg\ 31{}^\text{o}} \\
{} & = & 34\cos 26{}^\text{o}\times \frac{tg\ 26{}^\text{o}+tg\ 31{}^\text{o}}{tg\ 31{}^\text{o}} \\
{} & \simeq & 55,4\ (m) \\
\end{array}\]
A distância da porta da escola à estátua é, aproximadamente, 55,4 metros.
