Unindo os pontos médios dos lados de um quadrilátero – Parte 1

Determine três, ou mais, quadriláteros como os que se seguem.

Quadriláteros

1. Determine os pontos médios dos lados dos quadriláteros e, em cada um deles, construa os segmentos de reta definidos por pontos médios de lados consecutivos.

   FICA AO CUIDADO DO LEITOR – Utilize a aplicação apresentada abaixo.

2. Investigue que tipo de quadriláteros obteve. Registe as suas conjeturas e tente justificá-las.

   FICA AO CUIDADO DO LEITOR – Utilize a aplicação apresentada abaixo.

Vamos agora demonstrar que:

Os pontos médios dos lados consecutivos de qualquer quadrilátero são vértices de um paralelogramo.

Figura 1	Figura 2

Na Figura 1, a diagonal [AC] dividiu o quadrilátero [ABCD] em dois triângulos: [ABC] e [ADC].

Considerem-se os triângulos [ABC] e [MBN], relativamente aos quais se verifica:

• O ângulo ABC é comum aos dois triângulos;
• Como M e N são pontos médios dos lados [AB] e [BC], tem-se: $$\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {MB} }} = 2 = \frac{{\overline {CB} }}{{\overline {NB} }}$$

Conclui-se, então, que os triângulos [ABC] e [MBN] são semelhantes, pois possuem dois pares de lados de comprimentos diretamente proporcionais e os ângulos formados por esses pares de lados são geometricamente iguais (LAL).

Consequentemente, nesses dois triângulos, os ângulos internos correspondentes são geometricamente iguais. Em particular, os ângulos BMN e BAC são geometricamente iguais, pelo que os lados [MN] e [AC] são paralelos, isto é: $$\left[ {MN} \right]\parallel \left[ {AC} \right]$$

De forma análoga, considerando agora os triângulos semelhantes [ADC] e [QDP], conclui-se que também os lados [QP] e [AC] são paralelos, isto é: $$\left[ {QP} \right]\parallel \left[ {AC} \right]$$

Assim, sendo $\left[ {MN} \right]\parallel \left[ {AC} \right]$ e $\left[ {QP} \right]\parallel \left[ {AC} \right]$, então [MN] e [QP] são paralelos, isto é: $$\left[ {MN} \right]\parallel \left[ {QP} \right]$$

Considerando agora a Figura 2 e a diagonal [BD] do quadrilátero [ABCD], por um processo análogo ao utilizado relativamente à Figura 1, conclui-se que [MQ] e [NP] são paralelos, isto é: $$\left[ {MQ} \right]\parallel \left[ {NP} \right]$$

Portanto, sendo $\left[ {MN} \right]\parallel \left[ {QP} \right]$ e $\left[ {MQ} \right]\parallel \left[ {NP} \right]$, conclui-se que o quadrilátero [MNPQ] é um paralelogramo, pois são paralelos os seus lados opostos.