Cinco funções afins
Gráficos de funções afins: Matematicamente Falando 8 - Pág. 159 Tarefa 1
Enunciado
Considera as funções, definidas em \(\mathbb{Q}\), por:
| \(f\left( x \right) = – 4x\) | \(g\left( x \right) = – 3\) | \(h\left( x \right) = x + 2\) | \(i\left( x \right) = – x – \frac{2}{3}\) | \(j\left( x \right) = \frac{x}{4}\) |
- Quais das funções são funções constantes? E quais são funções lineares? E quais são funções afins?
- Indica o coeficiente de cada função linear.
- Considerando a forma canónica de cada uma das funções afins que não são constantes, nem lineares, indica, para cada caso, o coeficiente de x e o termo independente.
- Qual é a imagem de \( – \frac{7}{5}\) por cada uma das funções?
- Qual é o objeto cuja imagem é 12 pela função \(j\)? Mostra como chegaste à tua resposta.
- Calcula:
a) \(\left( {f + g} \right)\left( 3 \right)\)
b) \(\left( {f \times h} \right)\left( { – 2} \right)\) - Escreve a forma canónica da função \(j – i\).
Resolução
Considera as funções, definidas em \(\mathbb{Q}\), por:
| \(f\left( x \right) = – 4x\) | \(g\left( x \right) = – 3\) | \(h\left( x \right) = x + 2\) | \(i\left( x \right) = – x – \frac{2}{3}\) | \(j\left( x \right) = \frac{x}{4}\) |
- São funções constantes: \(g\).
São funções lineares: \(f\) e \(j\).
São funções afins: \(f\), \(g\), \(h\), \(i\) e \(j\). - O coeficiente da função linear \(f\) é \( – 4\).
O coeficiente da função linear \(j\) é \(\frac{1}{4}\). - As funções afins que não são constantes, nem lineares, são \(h\) e \(i\).
Relativamente a \(h\), o coeficiente de x é \(1\) e o termo independente é \(2\).
Relativamente a \(i\), o coeficiente de x é \( – 1\) e o termo independente é \( – \frac{2}{3}\). - Seguidamente, apresenta-se a imagem de \( – \frac{7}{5}\) por cada uma das funções:
\[\begin{array}{l}f\left( { – \frac{7}{5}} \right) = – 4 \times \left( { – \frac{7}{5}} \right) = \frac{{28}}{5}\\g\left( { – \frac{7}{5}} \right) = – 3\\h\left( { – \frac{7}{5}} \right) = – \frac{7}{5} + 2 = – \frac{7}{5} + \frac{{10}}{5} = \frac{3}{5}\\i\left( { – \frac{7}{5}} \right) = – \left( { – \frac{7}{5}} \right) – \frac{2}{3} = \frac{{21}}{{15}} – \frac{{10}}{{15}} = \frac{{11}}{{15}}\\j\left( { – \frac{7}{5}} \right) = \frac{{ – \frac{7}{5}}}{4} = – \frac{7}{5} \times \frac{1}{4} = – \frac{7}{{20}}\end{array}\] - É \(48\) o objeto cuja imagem é 12 pela função \(j\):
\[\begin{array}{*{20}{l}}{j\left( x \right) = 12}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{4} = 12}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 48}\end{array}\] - Calculando, vem:
a) \(\left( {f + g} \right)\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) + g\left( 3 \right) = \left( { – 4 \times 3} \right) + \left( { – 3} \right) = – 15\)
b) \(\left( {f \times h} \right)\left( { – 2} \right) = f\left( { – 2} \right) \times h\left( { – 2} \right) = \left( { – 4 \times \left( { – 2} \right)} \right) \times \left( { – 2 + 2} \right) = 0\) - A forma canónica da função \(j – i\) é: \(\left( {j – i} \right)\left( x \right) = \frac{5}{4}x + \frac{2}{3}\).
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {j – i} \right)\left( x \right)}& = &{j\left( x \right) – i\left( x \right)}\\{}& = &{\frac{x}{4} – \left( { – x – \frac{2}{3}} \right)}\\{}& = &{\frac{5}{4}x + \frac{2}{3}}\end{array}\]
