Um quadrado dividido em cinco quadriláteros

Na seguinte figura, um quadrado de lado x + y foi dividido em quatro retângulos iguais e um quadrado.

1. Justifica que o quadrilátero central é um quadrado e indica uma expressão para o lado desse quadrado como um polinómio de variáveis x e y.

2. Exprime a área dos retângulos e do quadrado central através de polinómios nas variáveis x e y.

3. Utilizando a alínea anterior, mostra que \({\left( {x + y} \right)^2} = 4xy + {\left( {x – y} \right)^2}\).

4. Prova algebricamente a igualdade da alínea anterior.

1. O quadrilátero central é um quadrado, pois os seus ângulos internos são retos e os seus lados são iguais.
   Uma expressão para o lado do quadrado pode ser: \(l = \left( {x + y} \right) – 2y = x – y\).
   
   
2. A área dos retângulos pode ser expressa por: \({A_{{\rm{Retângulos}}}} = 4 \times \left( {xy} \right) = 4xy\).
   A área do quadrado pode ser expressa por: \({A_{{\rm{Quadrado}}}} = {\left( {x – y} \right)^2}\).
   
   
3. A área do quadrado de lado x + y foi decomposto em quatro retângulos iguais e um quadrado central.
   Assim, temos: \(\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{QI}} = {A_{{\rm{Retângulos}}}} + {A_{{\rm{Quadrado}}}}}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x + y} \right)}^2} = 4xy + {{\left( {x – y} \right)}^2}}\end{array}\).
   
   
4. 
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{4xy + {{\left( {x – y} \right)}^2}}& = &{4xy + {x^2} – 2xy + {y^2}}\\{}& = &{{x^2} + 2xy + {y^2}}\\{}& = &{{{\left( {x + y} \right)}^2}}\end{array}\]