A Casinha da Matemática

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Considere, num referencial o.n. do plano, os pontos: $A(1,0)$, $B(-1,-1)$ e $C(-3,2)$.

1. Determine os números reais a, b e c de modo que a parábola P, de equação $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, passe pelos pontos A, B e C.
2. Considere a hipérbole H de equação $y=\frac{1}{x}$.

   a) Verifique que H passa por B.

   b) Determine os pontos comuns a P e H.

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Um aquário aberto em cima, de forma paralelepipédica, com 45 cm de altura, deve ter o volume de 170 litros.

Sejam x e y o comprimento e a largura da base, respetivamente.

1. Exprima y como função de x.
2. Exprima, em função de x, a área total do vidro necessário.
3. Determine um valor de x, aproximado às décimas, para o qual essa área é mínima.

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Sejam

\[\begin{matrix}
f:x\to \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1} & e & g:x\to \frac{2}{x-1}  \\
\end{matrix}\]

1. Mostre que $f+g$ e $f-g$ são funções racionais e determine o seu domínio.
2. Resolva gráfica e analiticamente as condições:a) $f(x)\ge 1$

   b) $g(x)\ge x$

   c) $f(x)<-\frac{1}{2}$

   d) $f(x)\ge g(x)$

3. Determine gráfica e analiticamente as coordenadas dos pontos do gráfico de g que têm abcissa igual à ordenada.

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Para que um remédio produza o efeito desejado, a sua concentração na corrente sanguínea deve estar acima de um certo valor, o nível terapêutico mínimo.

Suponhamos que a concentração c de um remédio, t horas após ser ingerido, é dada, em mg/l, por: \[c(t)=\frac{20t}{{{t}^{2}}+4}\]

Se o nível terapêutico mínimo é de 4 mg/l, determine quando este nível é excedido.

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Pretende-se esboçar o gráfico de N, que dá o “Nível de álcool no sangue”, em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja.

Sabe-se que:

• num litro de cerveja existem 40 g de álcool;
• N(p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool existente no litro de cerveja e o volume (em litros) do fluido orgânico da pessoa;
• o volume de líquido orgânico de cada pessoa é

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Uma nódoa circular de tinta é detetada sobre um tecido.

O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detetada, é dado por: \[r(t)=\frac{1+3t}{4+t}\,,\,t\ge 0\]

1. Calcule o raio da nódoa no instante em que foi detetada.
2. Recorrendo à sua calculadora, indique:

• o instante em que o raio da nódoa atingiu 2 cm de comprimento;
• o menor comprimento, em centímetros, que o raio da nódoa nunca ultrapassará.

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 Uma unidade industrial trata p% da água que lança ao rio.

O custo do tratamento, C(p), é dado em milhares de euros pela expressão \[C(p)=\frac{230p}{100-p}\]

1. Calcule o custo do tratamento de 10% da água.
2. Apresente uma tabela de valores do custo, de 10% em 10%, e o gráfico de C.
3. Observe como varia o custo da unidade percentual. Essa variação é constante?

   Apresente duas tabelas, uma com os valores de x entre 0% e 10%, de 1%