Uma parábola e uma hipérbole
Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 20
Considere, num referencial o.n. do plano, os pontos: $A(1,0)$, $B(-1,-1)$ e $C(-3,2)$.
- Determine os números reais a, b e c de modo que a parábola P, de equação $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, passe pelos pontos A, B e C.
- Considere a hipérbole H de equação $y=\frac{1}{x}$.
a) Verifique que H passa por B.
b) Determine os pontos comuns a P e H.
- Se os pontos A, B e C pertencem à parábola P, então as suas coordenadas têm de verificar a equação da parábola:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a+b+c=0 \\
a-b+c=-1 \\
9a-3b+c=2 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2b=1 \\
a+b+c=0 \\
9a-3b+c=2 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=\frac{1}{2} \\
a+c=-\frac{1}{2} \\
9a+c=\frac{7}{2} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=\frac{1}{2} \\
8a=4 \\
a+c=-\frac{1}{2} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\frac{1}{2} \\
b=\frac{1}{2} \\
c=-1 \\
\end{array} \right. & {} \\
\end{array}\] - a) H passa por B, pois as coordenadas de B verificam a equação de H: $-1=\frac{1}{-1}\Leftrightarrow -1=-1$.
b) \[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-1 \\
y=\frac{1}{x} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-1=\frac{1}{x} \\
y=\frac{1}{x} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+x-2-\frac{2}{x}=0 \\
y=\frac{1}{x} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-2}{x}=0 \\
y=\frac{1}{x} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{(x+1)({{x}^{2}}-2)}{x}=0 \\
y=\frac{1}{x} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 & \vee & x=\pm \sqrt{2} \\
\end{array} \\
y=\frac{1}{x} \\
\end{array} \right. & {} & {} & {} \\
\end{array}\]Os pontos comuns a P e H têm de coordenadas $(-1,-1)$, $(-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ e $(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Cálculos auxiliares:
Tenha em consideração que H passa por B.
$\begin{matrix}
{} & 1 & 1 & -2 & -2 \\
-1 & {} & -1 & 0 & 2 \\
{} & 1 & 0 & -2 & 0 \\
\end{matrix}$(Regra de Ruffini)
Resolvendo graficamente, temos:
