A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Exprime em função de sen α e de cos α

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 96 Ex. 51

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Enunciado

Trace um círculo trigonométrico e utilize-o para exprimir em função de sen α e de cos α as expressões:

  1. $sen\,(\alpha -\pi )$ e $\cos (\alpha -\pi )$
  2. $sen\,(-\alpha +\frac{5\pi }{2})$ e $\cos (-\alpha +\frac{5\pi }{2})$
  3. $sen\,(-\alpha -5\pi )$ e $\cos (-\alpha -5\pi )$
  4. $sen\,(\frac{7\pi }{2}-\alpha )$ e $\cos (\frac{7\pi }{2}-\alpha )$
  5. $sen\,(-\alpha +10\pi )$ e $\cos (-\alpha +10\pi )$

Resolução

  1. $sen\,(\alpha -\pi )=-sen\,(\pi -\alpha )=-sen\,\alpha $
    $\cos (\alpha -\pi )=\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha $
    ­
  2. $sen\,(-\alpha +\frac{5\pi }{2})=sen\,(2\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha )=sen\,(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha $
    $\cos (-\alpha +\frac{5\pi }{2})=\cos (2\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=sen\,\alpha $
    ­
  3. $sen\,(-\alpha -5\pi )=sen\,(6\pi -\alpha -5\pi )=sen\,(\pi -\alpha )=sen\,\alpha $
    $\cos (-\alpha -5\pi )=\cos (6\pi -\alpha -5\pi )=\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha $
    ­
  4. $sen\,(\frac{7\pi }{2}-\alpha )=sen\,(4\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha )=sen\,(-\frac{\pi }{2}-\alpha )=-sen\,(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-sen\,(\frac{\pi }{2}-(-\alpha ))=-\cos (-\alpha )=-\cos \alpha $
    $\cos (\frac{7\pi }{2}-\alpha )=\cos (4\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos (-\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}-(-\alpha ))=sen\,(-\alpha )=-sen\,\alpha $
    ­
  5. $sen\,(-\alpha +10\pi )=sen\,(-\alpha )=-sen\,\alpha $
    $\cos (-\alpha +10\pi )=\cos (-\alpha )=\cos \alpha $

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