Uma caixa com um recorte
Distribuição de probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 105 Ex. 33
Uma criança tem um jogo constituído por uma caixa que numa das faces tem um buraco com um recorte de uma peça P1 que, quando nele introduzida, cai dentro da caixa.
Além dessa peça, o jogo tem mais quatro peças P2, P3, P4 e P5, com recortes diferentes. Dada a sua pouca idade, a criança pega nas peças ao acaso e experimenta cada uma, mas já tem o cuidado de pôr de parte a peça experimentada.
- Qual é o número esperado de peças colocadas de lado até conseguir meter a peça correta dentro da caixa?
- Se a criança dispusesse de seis peças:
a) qual seria o valor esperado?
b) a frase: “o valor esperado pode não ser um dos valores da variável” é verdadeira ou falsa?
- Se a criança escolhesse a peça ao acaso mas não a pusesse de lado depois de experimentada:
a) que valores tomaria a variável?
b) qual seria a distribuição de probabilidades dessa variável?
- Seja a variável aleatória $X$: “número de peças colocadas de lado até conseguir meter a peça na caixa”.
Consideremos o acontecimento ${{E}_{i}}$: “a peça escolhida entra na caixa na tentativa i” e calculemos as seguintes probabilidades:
$P(X=0)=P({{E}_{1}})=\frac{1}{5}$
$P(X=1)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap {{E}_{2}})=P(\overline{{{E}_{1}}})\times P({{E}_{2}}|\overline{{{E}_{1}}})=\frac{4}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{5}$
$P(X=2)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}\cap {{E}_{3}})=P(\overline{{{E}_{1}}})\times P(\overline{{{E}_{2}}}|\overline{{{E}_{1}}})\times P({{E}_{3}}|(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}))=\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}$
$P(X=3)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}\cap \overline{{{E}_{3}}}\cap {{E}_{4}})=…=\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$
$P(X=4)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}\cap \overline{{{E}_{3}}}\cap \overline{{{E}_{4}}}\cap {{E}_{5}})=…=\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{5}$
A distribuição de probabilidades é a seguinte:
$X={{x}_{i}}$ 0 1 2 3 4 $P(X={{x}_{i}})$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$ Então, o valor esperado da variável aleatória é $\mu =0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{1}{5}+2\times \frac{1}{5}+3\times \frac{1}{5}+4\times \frac{1}{5}=\frac{10}{5}=2$.
Ou seja, espera-se (mas não se pode garantir) que a criança, procedendo ao acaso, coloque a peça dentro da caixa à 3.ª tentativa.
- No caso de a criança dispor de seis peças, a distribuição de probabilidades é a seguinte (porquê?):
$X={{x}_{i}}$ 0 1 2 3 4 5 $P(X={{x}_{i}})$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ Note que, por exemplo, se tem:
$P(X=0)=P({{E}_{1}})=\frac{1}{6}$;
$P(X=1)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap {{E}_{2}})=P(\overline{{{E}_{1}}})\times P({{E}_{2}}|\overline{{{E}_{1}}})=\frac{5}{6}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{6}$.
a) Neste caso, o valor esperado da variável aleatória é (o que também não é inesperado [porquê?]): \[\mu =0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}\times 5\times \frac{1}{6}=\frac{15}{6}=2,5\]
b) A afirmação “o valor esperado pode não ser um dos valores da variável” é verdadeira. Basta reparar no valor esperado agora obtido ($\mu =2,5$), que não é um dos valores da variável aleatória considerada.
- Admitamos agora que a criança dispõe de cinco peças, escolhe uma peça ao acaso, mas não a coloca de lado depois de experimentada.
a) A variável aleatória toma os valores: 0, 1, 2, 3, … , n. (Porquê?)
b) Como:
$P(X=0)=P({{E}_{1}})=\frac{1}{5}={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{0}}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{5}$
$P(X=1)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap {{E}_{2}})=P(\overline{{{E}_{1}}})\times P({{E}_{2}}|\overline{{{E}_{1}}})={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{1}}\times \frac{1}{5}=\frac{4}{25}$
$P(X=2)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}\cap {{E}_{3}})=P(\overline{{{E}_{1}}})\times P(\overline{{{E}_{2}}}|\overline{{{E}_{1}}})\times P({{E}_{3}}|(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}))=\frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}\times \frac{1}{5}=\frac{16}{125}$
$P(X=3)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}\cap \overline{{{E}_{3}}}\cap {{E}_{4}})=…=\frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{3}}\times \frac{1}{5}=\frac{64}{625}$
$P(X=4)=P(\overline{{{E}_{1}}}\cap \overline{{{E}_{2}}}\cap \overline{{{E}_{3}}}\cap \overline{{{E}_{4}}}\cap {{E}_{5}})=…=\frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{4}}\times \frac{1}{5}=\frac{256}{3125}$
então, a distribuição de probabilidades é a seguinte:
$X={{x}_{i}}$ 0 1 2 3 4 … n $P(X={{x}_{i}})$ ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{0}}\times \frac{1}{5}$ ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{1}}\times \frac{1}{5}$ ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}\times \frac{1}{5}$ ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{3}}\times \frac{1}{5}$ ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{4}}\times \frac{1}{5}$ … ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{n}}\times \frac{1}{5}$
Já agora:
Qual é a soma das probabilidades constantes na última linha da tabela?
Se é como diz, então prove!
Precisa de uma ajuda?
- Infinito 11 A, Parte 3, página 104
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%281%2F5%29*%281-%284%2F5%29%5En%29%2F%281-4%2F5%29%29+as+n-%3Einfinity (Porquê?)
