Averigue se os vetores são perpendiculares

1. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(1,-3,2).(2,4,5)=1\times 2-3\times 4+2\times 5=0$.
   Logo os vetores são perpendiculares.
   ­
2. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(\sqrt{3}-1,4,-1).(\sqrt{3}+1,1,6)=(\sqrt{3}-1)\times (\sqrt{3}+1)+4\times 1-1\times 6=3-1+4-6=0$.
   Logo os vetores são perpendiculares.
   ­
3. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(\frac{2}{3},-\frac{3}{2},\frac{5}{7}).(-\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{5})=\frac{2}{3}\times (-\frac{3}{2})-\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{5}{7}\times \frac{7}{5}=-1-1+1=-1$.
   Logo os vetores não são perpendiculares.
   ­
4. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(-5,\alpha ,3).(2\alpha ,10,0)=-10\alpha +10\alpha +0=0$.
   Logo os vetores são perpendiculares.

Note:

Da definição de produto escalar de dois vetores, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u} \right\|.\left\| \overrightarrow{v} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{u}\,\overrightarrow{v}})$, decorre:

\[\begin{matrix}
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 & \Leftrightarrow  & \overrightarrow{u}=0 & \vee  & \overrightarrow{v}=0 & \vee  & \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}  \\
\end{matrix}\]