Triângulo decomposto pela altura relativa à hipotenusa

Considera a figura, onde está representado um triângulo, retângulo em T e decomposto pela altura referente à hipotenusa.

1. Justifica que os triângulos [TRH] e [TIH] são semelhantes.

2. Estabelece a igualdade entre os ângulos correspondentes dos triângulos [TRH] e [TIH].

3. Escreve as relações entre os comprimentos dos lados correspondentes dos triângulos [TRH] e [TIH].

4. Determina a altura do triângulo [TRI].

1. No triângulo retângulo [TRI], os ângulos TRI e TIR são complementares (a sua soma é um ângulo reto).
   No triângulo retângulo [TRH], os ângulos TRI e RTH também são complementares.
   Como os ângulos TIR e RTH são ambos complementares do ângulo TRI, então os ângulos TIR e RTH são geometricamente iguais. Isto é, \(T\widehat IR = R\widehat TH\).
   
   Assim, os triângulos [TRH] e [TIH] são semelhantes, pelo critério AA, pois ambos possuem um ângulo reto e os ângulos TIR e RTH são geometricamente iguais.
   
   
2. A igualdade entre os ângulos correspondentes dos triângulos [TRH] e [TIH] é a seguinte:
    – \(R\widehat HT = I\widehat HT = 90^\circ \)
    – \(R\widehat TH = T\widehat IR\)
    – \(T\widehat RH = I\widehat TH\)
   
   
3. Como os triângulos [TRH] e [TIH] são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais:
   \[\frac{{\overline {RT} }}{{\overline {IT} }} = \frac{{\overline {HR} }}{{\overline {HT} }} = \frac{{\overline {HT} }}{{\overline {HI} }}\]
4. Considerando as duas razões mais à direita e substituindo os valores conhecidos, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{\overline {HT} }} = \frac{{\overline {HT} }}{5}}& \Leftrightarrow &{\overline {HT} \times \overline {HT} = 2 \times 5}\\{}& \Leftrightarrow &{{{\overline {HT} }^2} = 10}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {HT} = \sqrt {10} }\end{array}\]
   Logo, \({\overline {HT} = \sqrt {10} }\) dm.

Sobre os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes

Em cada par de triângulos semelhantes, os lados correspondentes, em cada um dos dois triângulos, são os lados que se opõem, em cada triângulo, aos ângulos que são geometricamente iguais. E esta seleção de lados acontece três vezes, pois há três pares de lados que se opõem a três pares de ângulos geometricamente iguais.

Para evitar erros, quer para obter maior facilidade na identificação desses lados correspondentes, será recomendável destacar os três triângulos retângulos da figura original e colocá-los em linha, orientados segundo o cateto maior, por exemplo: