No lançamento de dois dados
Estatística e probabilidades: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 25 Ex. C
No lançamento de dois dados, um azul e outro vermelho, qual a probabilidade de o produto dos pontos pbtidos ser:
- 7?
- 1?
- maior que 12?
- um número par?
Naturalmente, estamos a pensar resolver o problema recorrendo à Lei de Laplace. No entanto, devemos ter em atenção que é indispensável que os acontecimentos que integram o espaço de acontecimentos sejam equiprováveis.
Será tentador considerar resultados possíveis da experiência aleatória descrita os seguintes 18 resultados:
\[1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9,\,10,\,12,\,15,\,16,\,18,\,20,\,24,\,25,\,30,\,36.\]
Isto é, os 18 produtos possíveis da multiplicação de dois quaisquer elementos do conjunto $\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$.
Desta forma, considerando para espaço de acontecimentos o conjunto
\[S=\left\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9,\,10,\,12,\,15,\,16,\,18,\,20,\,24,\,25,\,30,\,36 \right\}\]
será tentador responder:
- $P(\text{“produto dos pontos ser 1”})=\frac{1}{18}$
- $P(\text{“produto dos pontos ser 2”})=\frac{1}{18}$
No entanto, a primeira resposta está ERRADA; a segunda está certa, mas resulta apenas de mera coincidência.
O erro advém de se ter admitido que os acontecimentos considerados no conjunto S são equiprováveis, o que não corresponde à verdade.
Por exemplo, os acontecimentos “o produto dos pontos ser 1” e “o produto dos pontos ser 2” não têm a mesma probabilidade, aliás o primeiro tem metade da probabilidade do segundo.
Para entender esta conclusão, basta reparar que:
- o 1.º acontecimento apenas pode ser obtido de uma maneira: 1 ponto no dado azul e 1 ponto no dado vermelho – 11;
- o 2.º acontecimento pode ser obtido de duas maneiras: 1 ponto no dado azul e 2 pontos no dado vermelho, ou 2 pontos no dado azul e 1 ponto no dado vermelho – 12 ou 21.
Para garantir a igualdade de probabilidade dos resultados da experiência aleatória, é indispensável assegurar a distinção dos pontos obtidos face à cor do dado.
Nesse propósito, podemos construir uma tabela de dupla entrada ou um diagrama de árvore (ver diagrama na secção seguinte):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Assim, o espaço de acontecimentos da experiência aleatória considerada é constituído pelos 36 pares ordenados acima determinados. Logo, o número de casos possíveis é 36, isto é, $NCP=36$.
Para facilitar a identificação dos casos favoráveis dos acontecimentos das diferentes alíneas, é útil substituir na tabela acima cada um dos pares ordenados pelo produto obtido entre os dois elementos que os constituem:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
- O acontecimento A: “o produto dos pontos obtidos ser 7” é um acontecimento impossível, logo a sua probabilidade é nula.
- O conjunto dos resultados favoráveis ao acontecimento B: “o produto dos pontos obtidos ser 1” é $B=\left\{ (1,1) \right\}$.
Logo, $NCF=\#B=1$ e, portanto, $P(B)=\frac{1}{36}$.
- Relativamente ao acontecimento C: “o produto dos pontos obtidos ser maior que 12”, há 13 casos favoráveis. (Quais são?)
Logo, $P(C)=\frac{13}{36}$.
- São 27 os casos favoráveis ao acontecimento D: “o produto dos pontos obtidos é um número par”. (Quais são?)
Logo, $P(D)=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$.
