Um quadrado e um triângulo equilátero

O polígono [ABC] é um triângulo equilátero e o polígono [EFGH] é um quadrado.

Quais são as abcissas dos pontos P e X?

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [EGH], temos:

\[\overline {EG} = \sqrt {{{\overline {EH} }^2} + {{\overline {GH} }^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {{3^2} \times 2} = \sqrt {{3^2}} \times \sqrt 2 = 3\sqrt 2 \]

Logo, \(P \to 3\sqrt 2 \).

Seja \(M \to \frac{7}{2}\), o ponto médio do segmento de reta [AB], base do triângulo equilátero.

Determinemos a altura do triângulo, por aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BCM]:

\[\overline {CM} = \sqrt {{{\overline {BC} }^2} – {{\overline {BM} }^2}} = \sqrt {{3^2} – {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{3^2} – \frac{{{3^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{4 \times {3^2}}}{4} – \frac{{{3^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{3 \times {3^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{{3^2}}}{4}} \times \sqrt 3 = \frac{3}{2}\sqrt 3 \]

Logo, \(X \to \frac{{7 + 3\sqrt 3 }}{2}\).

Os cálculos sem simplificação dos radicais

• \(\overline {EG} = \sqrt {{{\overline {EH} }^2} + {{\overline {GH} }^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {9 + 9} = \sqrt {18} \)
  Logo, \(P \to \sqrt {18} \).
  
  
• \(\overline {CM} = \sqrt {{{\overline {BC} }^2} – {{\overline {BM} }^2}} = \sqrt {{3^2} – {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {9 – \frac{9}{4}} = \sqrt {\frac{{36}}{4} – \frac{9}{4}} = \sqrt {\frac{{27}}{4}} = \sqrt {6,75} \)
  Logo, \(X \to 3,5 + \sqrt {6,75} \).