A soma de uma constante com o quadrado de um polinómio de 1.º grau
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 82 Ex. 3
Enunciado
Obtém, para cada alínea, uma expressão equivalente que seja a soma de uma constante com o quadrado de um polinómio de primeiro grau (eventualmente multiplicado por uma constante).
- \({x^2} + 4x + 2\)
- \({x^2} – 6x – 1\)
- \({x^2} + x + 1\)
- \(3{x^2} + 2x + 7\)
Resolução
- Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x + 2}& = &{{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 4 + 2}\\{}& = &{{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 2}\end{array}\] - Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 6x – 1}& = &{{{\left( {x – 3} \right)}^2} – 9 – 1}\\{}& = &{{{\left( {x – 3} \right)}^2} – 10}\end{array}\] - Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}& = &{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{1}{4} + 1}\\{}& = &{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}\end{array}\] - Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 2x + 7}& = &{3\left( {{x^2} + \frac{2}{3}x} \right) + 7}\\{}& = &{3{{\left( {x + \frac{1}{3}} \right)}^2} – \frac{1}{9} \times 3 + 7}\\{}& = &{3{{\left( {x + \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{{20}}{3}}\end{array}\]
