Duas funções trigonométricas

Determinação analítica da abcissa de um ponto A, que é um ponto de interseção dos gráficos das duas funções

by AMMA · Published 4 de Novembro de 2010 · Updated 25 de Dezembro de 2021

Enunciado

Na figura estão as representações gráficas de duas funções, f e g, no intervalo $\left[ -2\pi ,2\pi \right]$.

Sabe-se que:

f é definida por $f(x)=sen\,x$;
g é definida por $g(x)=\cos (3x)$;
A é um ponto de intersecção dos gráficos de f e de g.

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, determine a abcissa (valor exacto) de A.

Resolução

A abcissa do ponto A satisfaz a seguinte condição: $f(x)=g(x)\wedge x\in \left] \frac{\pi }{2},\pi \right[$. Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}} sen\,x=\cos (3x) & \Leftrightarrow & sen\,x=sen\,(\frac{\pi }{2}-3x) \\ {} & \Leftrightarrow & \begin{matrix} x=(\frac{\pi }{2}-3x)+2k\pi & \vee & x=\pi -(\frac{\pi }{2}-3x)+2k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{matrix} \\ {} & \Leftrightarrow & \begin{matrix} 4x=\frac{\pi }{2}+2k\pi & \vee & -2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{matrix} \\ {} & \Leftrightarrow & \begin{matrix} x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} & \vee & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{matrix} \\ \end{array}\] Atribuindo valores convenientes a k, obtém-se: \[\begin{matrix} k=0: & x=\frac{\pi }{8} & \vee & x=-\frac{\pi }{4} \\ k=1: & x=\frac{5\pi }{8} & \vee & x=\frac{3\pi }{4} \\ k=2: & x=\frac{9\pi }{8} & \vee & x=\frac{7\pi }{4} \\ \end{matrix}\] Há duas soluções pertencentes ao intervalo $\left] \frac{\pi }{2},\pi \right[$ (para $k=1$), aliás, situação observável na representação gráfica dada. Ora, o valor procurado é o maior dos dois, portanto, a abcissa do ponto A é $\frac{3\pi }{4}$.

Note:

$\frac{3\pi }{4}\simeq 2,35619$
$f(\frac{3\pi }{4})=sen\,(\frac{3\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\simeq 0,70711$
$g(\frac{3\pi }{4})=\cos (3\times \frac{3\pi }{4})=\cos (2\pi +\frac{\pi }{4})=\cos (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\simeq 0,70711$