Equações trigonométricas 5

1.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}    -\sqrt{3}-2\,sen\,\theta =0 & \Leftrightarrow  & sen\,\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    \theta =-\frac{\pi }{3}+2k\pi  & \vee  & \theta =(\pi -(-\frac{\pi }{3}))+2k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z}  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    \theta =-\frac{\pi }{3}+2k\pi  & \vee  & \theta =\frac{4\pi }{3}+2k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z}  \\ \end{array}  \\ \end{array}\] donde, para os valores indicados de k, se obtém: \[\begin{matrix}    k=-1: & \theta =-\frac{7\pi }{3} & \vee  & \theta =-\frac{2\pi }{3}  \\    k=0: & \theta =-\frac{\pi }{3} & \vee  & \theta =\frac{4\pi }{3}  \\    k=1: & \theta =\frac{5\pi }{3} & \vee  & \theta =\frac{10\pi }{3}  \\ \end{matrix}\] Logo, no intervalo considerado, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{3} \right\}$.

2.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}    -2+\sqrt{3}\,tg\,\theta =1 & \Leftrightarrow  & tg\,\theta =\frac{3}{\sqrt{3}}  \\    {} & \Leftrightarrow  & tg\,\theta =\sqrt{3}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \theta =\frac{\pi }{3}+k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z}  \\ \end{array}\] donde, para os valores indicados de k, se obtém: \[\begin{matrix}    k=0: & \theta =\frac{\pi }{3}  \\    k=1: & \theta =\frac{4\pi }{3}  \\    k=2: & \theta =\frac{7\pi }{3}  \\ \end{matrix}\] Logo, no intervalo considerado, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3} \right\}$.

3.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}    1+\sqrt{2}\cos \theta =3 & \Leftrightarrow  & \cos \theta =\frac{2}{\sqrt{2}}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \cos \theta =\sqrt{2}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \theta \in \left\{ {} \right\}  \\ \end{array}\] Logo, a equação é impossível.

4.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}    4{{\cos }^{2}}\theta =3 & \Leftrightarrow  & {{\cos }^{2}}\theta =\frac{3}{4}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    \cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2} & \vee  & \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    \theta =\mp \frac{5\pi }{6}+2k\pi  & \vee  & \theta =\mp \frac{\pi }{6}+2k\pi \,,\,\,k\in \mathbb{Z}  \\ \end{array}  \\ \end{array}\] donde, para os valores indicados de k, se obtém: \[\begin{matrix}    k=-1: & \theta =-\frac{17\pi }{6} & \vee  & \theta =-\frac{7\pi }{6} & \vee  & \theta =-\frac{13\pi }{6} & \vee  & \theta =-\frac{11\pi }{6}  \\    k=0: & \theta =-\frac{5\pi }{6} & \vee  & \theta =\frac{5\pi }{6} & \vee  & \theta =-\frac{\pi }{6} & \vee  & \theta =\frac{\pi }{6}  \\    k=1: & \theta =\frac{7\pi }{6} & \vee  & \theta =\frac{17\pi }{6} & \vee  & \theta =\frac{11\pi }{6} & \vee  & \theta =\frac{13\pi }{6}  \\ \end{matrix}\] Logo, no intervalo considerado, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ -\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right\}$.