A distância entre as árvores

Observa na figura o procedimento usado pela Marta para descobrir a distância entre as árvores que se encontram nos pontos A e B.

A medida do comprimento do seu passo é 80 cm.

1. Justifica que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes.

2. Qual é, em metros, a distância entre as árvores que se encontram nos pontos A e B?
   Explica a tua resposta.

1. Pelo critério AA, os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes, pois \(C\widehat AB = D\widehat AE\) (ângulos verticalmente opostos) e \(A\widehat CB = A\widehat DE\) (ângulos retos).
   
   
2. Como os triângulos são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais:
   \[\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AE} }} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AD} }} = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {DE} }}\]
   Selecionando as duas razões mais à esquerda, \(\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AE} }} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AD} }}\), e substituindo os valores conhecidos, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\overline {AB} }}{{30}} = \frac{{60}}{{25}}}& \Leftrightarrow &{25 \times \overline {AB} = 30 \times 60}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = \frac{{1800}}{{\mathop {25}\limits_{\left( 4 \right)} }}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = \frac{{7200}}{{100}}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = 72}\end{array}\]
   Ora, \(72\;{\rm{passos}} = 72 \times 0,8\;{\rm{m}} = 57,6\;{\rm{m}}\).
   Logo, a distância entre as árvores que se encontram nos pontos A e B é 57,6 metros.