A Casinha da Matemática

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 Seja $g$ a função real de variável real definida por $$g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$$

1. Prove, usando um processo analítico, que o gráfico da função admite uma assíntota oblíqua.
2. Prove, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que a função $g$ tem um zero no intervalo $\left] { – 3, – 2} \right[$.

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Considere a função real de variável real $h$ definida por $$h(x) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{x – 2}}{{x + 1}}}& \Leftarrow &{x <  – 2} \\
{\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}}& \Leftarrow &{x \geqslant  – 2}
\end{array}} \right.$$

1. Faça o estudo da continuidade da função $h$.
2. Prove que a função $h$ tem um zero no intervalo $\left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$.

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Considere a função $$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$

1. Complete o quadro com as imagens dos valores assinalados.
   

   $x$	$-2$		$0$		$1$		$2$
   $f(x)$

2. Justifique a seguinte afirmação:
   “A equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.”
3. Determine, a menos de $0,1$, a maior das raízes.

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