Unindo os pontos médios dos lados de um quadrilátero – Parte 4

SOLUÇÃO

1. Suponha que as diagonais do quadrilátero dado medem $10$ cm e $6$ cm.
   Quanto medem os lados do novo quadrilátero?
2. Confirme que o perímetro do paralelogramo é igual à soma das diagonais do quadrilátero original.
3. Investigue qual é a relação entre as áreas do quadrilátero dado e a do paralelogramo.

   

1. Já vimos que o triângulo [ABD] é uma ampliação do triângulo [AMQ], com razão de semelhança $r = 2$.
   Já sabemos que a mesma relação ocorre entre os triângulos [ACD] e [QPD].
   Logo, se as diagonais do quadrilátero dado medem $10$ cm e $6$ cm, conclui-se que os lados do paralelogramo [MNPQ] medem $5$ cm e $3$ cm.
2. Tendo em consideração o que foi dito acima, vem:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {{P_{\left[ {MNPQ} \right]}}}& = &{2 \times \left( {\overline {MQ}  + \overline {MN} } \right)}\\
   {}& = &{2 \times \overline {MQ}  + 2 \times \overline {MN} }\\
   {}& = &{\overline {BD}  + \overline {AC} }
   \end{array}$$

   

3. Tendo em consideração a semelhança de triângulos já vista em momentos anteriores, tem-se:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {{A_{\left[ {MBN} \right]}} = {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} \times {A_{\left[ {ABC} \right]}}}&{}&{{A_{\left[ {NCP} \right]}} = {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} \times {A_{\left[ {BCD} \right]}}}&{}&{{A_{\left[ {PDQ} \right]}} = {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} \times {A_{\left[ {CDA} \right]}}}&{}&{{A_{\left[ {AMQ} \right]}} = {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} \times {A_{\left[ {ABD} \right]}}}\\
   {{A_{\left[ {MBN} \right]}} = \frac{1}{4} \times {A_{\left[ {ABC} \right]}}}&{}&{{A_{\left[ {NCP} \right]}} = \frac{1}{4}{A_{\left[ {BCD} \right]}}}&{}&{{A_{\left[ {PDQ} \right]}} = \frac{1}{4} \times {A_{\left[ {CDA} \right]}}}&{}&{{A_{\left[ {AMQ} \right]}} = \frac{1}{4} \times {A_{\left[ {ABD} \right]}}}
   \end{array}$$
   Destas relações, podemos obter:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {{A_{\left[ {MBN} \right]}} + {A_{\left[ {NCP} \right]}} + {A_{\left[ {PDQ} \right]}}{ + _{\left[ {AMQ} \right]}}}& = &{\frac{1}{4} \times \left( {{A_{\left[ {ABC} \right]}} + {A_{\left[ {BCD} \right]}} + {A_{\left[ {CDA} \right]}} + {A_{\left[ {ABD} \right]}}} \right)}\\
   {}& = &{\frac{1}{4} \times \left( {2 \times {A_{\left[ {ABCD} \right]}}} \right)}\\
   {}& = &{\frac{1}{2}{A_{\left[ {ABCD} \right]}}}
   \end{array}$$
   Consequentemente, vem:
   $${A_{\left[ {MNPQ} \right]}} = \frac{1}{2}{A_{\left[ {ABCD} \right]}}$$
   isto é, a área do paralelogamo é metade da área do quadrilátero dado.